数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 20）

数据挖掘与分析课程笔记

• 参考教材：Data Mining and Analysis : MOHAMMED J.ZAKI, WAGNER MEIRA JR.

文章目录

0. 数据挖掘与分析课程笔记（目录）
1. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 1）
2. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 2）
3. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 5）
4. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 7）
5. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 14）
6. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 15）
7. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 20）
8. 数据挖掘与分析课程笔记（Chapter 21）

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Chapter 20: Linear Discriminant Analysis

Set up：$\mathbf{D}=\{({\mathbf{x}}_i,y_i){\}}_{i=1}^n$， 其中 $y_i=1,2$（或 $\pm 1$ 等），${\mathbf{D}}_1=\{{\mathbf{x}}_i|y_i=1\}$，${\mathbf{D}}_2=\{{\mathbf{x}}_i|y_i=2\}$

Goal：寻找向量 $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^d$ （代表直线方向）使得 ${\mathbf{D}}_1,{\mathbf{D}}_2$ 的“平均值”距离最大且“总方差”最小。

20.1 Normal LDA

设 $\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^d,{\mathbf{w}}^T\mathbf{w}=1$，则 ${\mathbf{x}}_i$ 在 $\mathbf{w}$ 方向上的投影为 ${\mathbf{x}}_i^{\prime }=\left(\frac{{\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i}{{\mathbf{w}}^T\mathbf{u}}\right)\mathbf{w}=a_i\mathbf{w},a_i={\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i$

则 ${\mathbf{D}}_1$ 中数据在 $\mathbf{w}$ 上的投影平均值为：（$|{\mathbf{D}}_1|=n_1$）
$$m_1:=\frac{1}{n_1}\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{a}_i={\mathbf{\mu }}_1^T\mathbf{w}$$
投影平均值等于平均值的投影。

类似地： ${\mathbf{D}}_2$ 中数据在 $\mathbf{w}$ 上的投影平均值为：
$$m_2:=\frac{1}{n_2}\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_2}{a}_i={\mathbf{\mu }}_2^T\mathbf{w}$$
目标之一：寻找 $\mathbf{w}$ 使得 $(m_1-m_2{)}^2$ 最大。

对于 ${\mathbf{D}}_i$，定义：
$$s_i^2=\sum _{{\mathbf{x}}_k\in {\mathbf{D}}_i}(a_k-m_i{)}^2$$
注意：$s_i^2=n_i{\sigma }_i^2(|D_i|=n_i)$

Goal：Fisher LDA目标函数：
$$\underset{\mathbf{w}}{\max }J(\mathbf{w})=\frac{(m_1-m_2{)}^2}{s_1^2+s_2^2}$$
注意：$J(\mathbf{w})=J(w_1,w_2,\cdots ,w_d)$
$$\begin{array}{rl}{\left(m_1-m_2\right)}^2& ={\left({\mathbf{w}}^T\left({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2\right)\right)}^2\\ & ={\mathbf{w}}^T\left(\left({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2\right){\left({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2\right)}^T\right)\mathbf{w}\\ & ={\mathbf{w}}^T\mathbf{Bw}\end{array}$$

$\mathbf{B}$ 被称为类间扩散矩阵

$$\begin{array}{rl}{s}_1^2& =\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\left(a_i-m_1\right)}^2\\ & =\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\left({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i-{\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_1\right)}^2\\ & =\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\left({\mathbf{w}}^T\left({\mathbf{x}}_i-{\mathbf{\mu }}_1\right)\right)}^2\\ & ={\mathbf{w}}^T\left(\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}\left({\mathbf{x}}_i-{\mathbf{\mu }}_1\right){\left({\mathbf{x}}_i-{\mathbf{\mu }}_1\right)}^T\right)\mathbf{w}\\ & ={\mathbf{w}}^T{\mathbf{S}}_1\mathbf{w}\end{array}$$

${\mathbf{S}}_1$ 被称为 ${\mathbf{D}}_1$ 的扩散矩阵 ${\mathbf{S}}_1=n_1{\Sigma }_1$

类似地，$s_2^2={\mathbf{w}}^T{\mathbf{S}}_2\mathbf{w}$

令 $\mathbf{S}={\mathbf{S}}_1+{\mathbf{S}}_2$，则
$$\underset{\mathbf{w}}{\max }J(\mathbf{w})=\frac{(m_1-m_2{)}^2}{s_1^2+s_2^2}=\frac{{\mathbf{w}}^T\mathbf{Bw}}{{\mathbf{w}}^T\mathbf{Sw}}$$

注意：
$$\frac{d}{d\mathbf{w}}J(\mathbf{w})=\frac{2\mathbf{Bw}({\mathbf{w}}^T\mathbf{Sw})-2\mathbf{Sw}({\mathbf{w}}^T\mathbf{Bw})}{({\mathbf{w}}^T\mathbf{Sw}{)}^2}=0$$
即有：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{Bw}({\mathbf{w}}^T\mathbf{Sw})& =\mathbf{Sw}({\mathbf{w}}^T\mathbf{Bw})\\ \mathbf{Bw}& =\mathbf{Sw}\cdot \frac{{\mathbf{w}}^T\mathbf{Bw}}{{\mathbf{w}}^T\mathbf{Sw}}\\ \mathbf{Bw}& =J(\mathbf{w})\cdot \mathbf{Sw}(\ast )\end{array}$$
若 ${\mathbf{S}}^{-1}$ 存在，则
$${\mathbf{S}}^{-1}\mathbf{Bw}=J(\mathbf{w})\cdot \mathbf{w}$$
故要求最大 $J(\mathbf{w})$ ，只需 ${\mathbf{S}}^{-1}\mathbf{B}$ 的最大特征值，$\mathbf{w}$ 为其特征向量。

☆ 不求特征向量求出 $\mathbf{w}$ 的方法

将 $\mathbf{B}=({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2)({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2{)}^T$ 代入 $(\ast )$ 得
$$\begin{array}{rl}({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2)({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2{)}^T\mathbf{w}& =J(\mathbf{w})\cdot \mathbf{Sw}\\ {\mathbf{S}}^{-1}({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2)[\frac{({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2{)}^T\mathbf{w}}{J(\mathbf{w})}]& =\mathbf{w}\end{array}$$
故只需计算 ${\mathbf{S}}^{-1}({\mathbf{\mu }}_1-{\mathbf{\mu }}_2)$，再单位化。

20.2 Kernel LDA：

事实1：如果 $\left({\mathbf{S}}_{\varphi }^{-1}{\mathbf{B}}_{\varphi }\right)\mathbf{w}=\lambda \mathbf{w}$，那么 $\mathbf{w}=\sum _{j=1}^n{a}_j\varphi ({\mathbf{x}}_j)$，证明见讲稿最后两页。

令 $\mathbf{a}=(a_1,\cdots ,a_n{)}^T$ 是“事实1”中的向量。

下面将 $\underset{\mathbf{w}}{\max }J(\mathbf{w})=\frac{(m_1-m_2{)}^2}{s_1^2+s_2^2}=\frac{{\mathbf{w}}^T{\mathbf{B}}_{\varphi }\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^T{\mathbf{S}}_{\varphi }\mathbf{w}}$ 的问题转化为 $\max G(\mathbf{a})$ s.t. 使用 $\mathbf{K}$ 能求解。

注意到：
$$\begin{array}{rl}{m}_i={\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_i^{\varphi }& ={\left(\sum _{j=1}^n{a}_j\varphi \left({\mathbf{x}}_j\right)\right)}^T\left(\frac{1}{n_i}\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_i}\varphi \left({\mathbf{x}}_k\right)\right)\\ & =\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^n\sum _{{\mathbf{x}}_k\in {\mathbf{D}}_i}{a}_j\varphi {\left({\mathbf{x}}_j\right)}^T\varphi \left({\mathbf{x}}_k\right)\\ & =\frac{1}{n_i}\sum _{j=1}^n\sum _{{\mathbf{x}}_k\in {\mathbf{D}}_i}{a}_{j}K\left({\mathbf{x}}_j,{\mathbf{x}}_k\right)\\ & ={\mathbf{a}}^T{\mathbf{m}}_i\end{array}$$
其中，
$${\mathbf{m}}_i=\frac{1}{n_i}{\left(\begin{array}{c}\sum _{{\mathbf{x}}_k\in {\mathbf{D}}_i}K\left({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_k\right)\\ \sum _{{\mathbf{x}}_k\in {\mathbf{D}}_i}K\left({\mathbf{x}}_2,{\mathbf{x}}_k\right)\\ ⋮\\ \sum _{{\mathbf{x}}_k\in {\mathbf{D}}_i}K\left({\mathbf{x}}_n,{\mathbf{x}}_k\right)\end{array}\right)}_{n\times 1}$$
故
$$\begin{array}{rl}{\left(m_1-m_2\right)}^2& ={\left({\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_1^{\varphi }-{\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_2^{\varphi }\right)}^2\\ & ={\left({\mathbf{a}}^T{\mathbf{m}}_1-{\mathbf{a}}^T{\mathbf{m}}_2\right)}^2\\ & ={\mathbf{a}}^T\left({\mathbf{m}}_1-{\mathbf{m}}_2\right){\left({\mathbf{m}}_1-{\mathbf{m}}_2\right)}^T\mathbf{a}\\ & ={\mathbf{a}}^T\mathbf{Ma}\end{array}$$
（$\mathbf{M}$ 被称为核类间扩散矩阵）
$$\begin{array}{rl}{s}_1^2& =\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\Vert {\mathbf{w}}^T\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right)-{\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_1^{\varphi }\Vert }^2\\ & =\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\Vert {\mathbf{w}}^T\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right)\Vert }^2-2\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\mathbf{w}}^T\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right)\cdot {\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_1^{\varphi }+\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\Vert {\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_1^{\varphi }\Vert }^2\\ & =\left(\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\Vert \sum _{j=1}^n{a}_j\varphi {\left({\mathbf{x}}_j\right)}^T\varphi \left({\mathbf{x}}_i\right)\Vert }^2\right)-2\cdot n_1\cdot {\Vert {\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_1^{\varphi }\Vert }^2+n_1\cdot {\Vert {\mathbf{w}}^T{\mathbf{\mu }}_1^{\varphi }\Vert }^2\\ & =\left(\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\mathbf{a}}^T{\mathbf{K}}_i{\mathbf{K}}_i^T\mathbf{a}\right)-n_1\cdot {\mathbf{a}}^T{\mathbf{m}}_1{\mathbf{m}}_1^T\mathbf{a}\\ & ={\mathbf{a}}^T\left(\left(\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_1}{\mathbf{K}}_i{\mathbf{K}}_i^T\right)-n_1{\mathbf{m}}_1{\mathbf{m}}_1^T\right)\mathbf{a}\\ & ={\mathbf{a}}^T{\mathbf{N}}_1\mathbf{a}\end{array}$$
类似地，令 ${\mathbf{N}}_2=\left(\sum _{{\mathbf{x}}_i\in {\mathbf{D}}_2}{\mathbf{K}}_i{\mathbf{K}}_i^T-n_2{\mathbf{m}}_2{\mathbf{m}}_2^T\right)$

则 $s_1^2+s_2^2={\mathbf{a}}^T({\mathbf{N}}_1+{\mathbf{N}}_2)\mathbf{a}={\mathbf{a}}^T\mathbf{Na}$

故：$J(\mathbf{w})=\frac{{\mathbf{a}}^T\mathbf{Ma}}{{\mathbf{a}}^T\mathbf{Na}}:=G(\mathbf{a})$

类似 20.1，$\mathbf{Ma}=\lambda \mathbf{Na}$

• 若 ${\mathbf{N}}^{-1}$ 存在，${\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{Ma}=\lambda \mathbf{a}$，$\lambda$ 取 ${\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{M}$ 的最大特征值，$\mathbf{a}$ 是相应的特征向量。

• 若 ${\mathbf{N}}^{-1}$ 不存在，MATLAB 求广义逆

最后考查 ${\mathbf{w}}^T\mathbf{w}=1$，即

$$\begin{array}{rl}(\sum _{j=1}^n{a}_j\varphi ({\mathbf{x}}_j){)}^T(\sum _{i=1}^n{a}_i\varphi ({\mathbf{x}}_i))& =1\\ \sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{a}_j{a}_i\varphi ({\mathbf{x}}_j{)}^T\varphi ({\mathbf{x}}_i)& =1\\ \sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^n{a}_j{a}_{i}K({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)& =1\\ {\mathbf{a}}^T\mathbf{Ka}& =1\end{array}$$
求出 ${\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{M}$ 的特征向量 $\mathbf{a}$ 后，$\mathbf{a}\leftarrow \frac{\mathbf{a}}{\sqrt{{\mathbf{a}}^T\mathbf{Ka}}}$ 以保证 ${\mathbf{w}}^T\mathbf{w}=1$

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