考研数学一的基本计算与应用以及对概数的膜拜

考研数学一的基本计算与应用

前言

记录高等数学的基本计算与应用的心得体会。参考高等数学知识框架初步 ，学习路线依次是极限计算、求导计算、积分计算，然后是微积分的应用以及中值定理，

计算问题是核心问题，计算问题解决了，其他问题都是小问题。计算问题没能达到及格线，学习后边的应用也十分容易被卡脖子。

高等数学的计算问题是极限计算、微分计算、积分计算；

线性代数的计算问题是行列式计算、矩阵计算；

概论与数理的计算问题是微积分计算。

其中极限的计算和微分的计算息息相关，可以归为微分计算。

综上所述，考研数学一的基本计算是微分计算和积分计算、行列式计算和矩阵计算。

微分的应用主要是三点两性一线

积分的应用主要是面积体积平均值

行列式和矩阵的应用主要是解方程组和相似理论

计算

极限计算

基本框架

概念

数列极限、函数极限

无穷小比阶概念

一般性质

唯一性：左极限=右极限，则极限存在

（局部）有界性

（局部）保号性：衍生出不等式脱帽戴帽法

存在性质

夹逼准则

单调有界准则（魏氏准则）

运算性质

极限运算性质

洛必达法则：右存在，则左存在；

泰勒公式：A/B上下同阶；A-B系数不等的幂次最低；

补充

对数指数运算

三角函数运算

三个重要极限

八个等价无穷小

十个泰勒公式

变限积分求导公式

内在联系

常用无穷小比阶和连续来考题，实则是计算函数极限；

数列极限在这部分不做展开，到无穷级数部分再联系，数列极限常用归结原则、定义、存在性质进行证明；

函数极限主要解决七种未定式的计算，工具有对数指数运算、三角函数运算、三个重要极限、八个等价无穷、十个泰勒泰勒公式、变限积分求导以及洛必达法则。

不过在做函数极限的时候最好结合微分计算。因为泰勒公式需要用到高阶导数求导，高阶导数求导需要用到微分计算。泰勒公式虽然干巴巴记忆也行，但是个人喜欢推导，喜欢联系。十个泰勒公式记住后，三个重要极限以及八个等价无穷小也可以用泰勒公式证明，依次记忆。这样的话函数极限的内容也就这些。

八个等价无穷小是泰勒公式衍生，用的时候注意其精度，有些极限计算中进行等价无穷小替换的时候要注意把精度展开到更高次幂一些。

导数计算

定义与性质

导数：左导数=右导数；增量概念

微分：增量概念；复合函数与微分形式不变性

求导工具

基本求导公式：8+8+2；

求导法则：四则运算、复合函数求导（对数、幂指求导法）、反函数求导；

求导类型

参数方程求导

隐函数求导

高阶求导：归纳法、莱布尼茨公式（高阶导数的四则运算）、泰勒公式

内在联系

基本求导公式有八个：对数求导两个、幂函数求导两个、三角函数求导两个、指数求导一个、常数求导一个；

然后用四则运算推导出正切、余切求导；

用复合函数求导推导出正割、余割求导；

用反函数求导推导出反正弦、反余弦、反正切、反余切的求导公式；

有了这些基本公式后，可以进行基本的求导计算。

求导类型主要用高阶求导，技巧有对数求导和幂指函数求导。

两边同时取对数进行求导

幂指求导进行局部变形

高阶求导：归纳法、莱布尼茨公式、幂级数

积分计算

极限的计算是用好极限运算性质和常用公式进行解题；重点考等价无穷小和洛必达法则。计算量适度。不过对数指数运算、三角运算要熟练。

微分的计算是用好求导工具解决好求导类型。考得很综合，四则运算、复合函数、反函数、隐函数的计算公式反复使用。重点考高阶求导。计算量适度。

最后是积分计算。也是微积分最后的一环，至此微分、积分形成了闭环。微积分的函数性质可以一起讨论。计算可以相互关联。形成原函数、积函数、导函数的祖孙三代关系，集中分析其奇偶性、周期性、单调性、有界性。

积分计算十分有意思，综合性很强，计算量最大，应用最广。

不定积分计算

基本积分公式

凑微分法

换元法

分布积分法

有理函数积分

定积分定义

基本形

放缩形

变量形

定积分计算

区间再现公式

华里士公式

变限积分

直接求导

换元求导

拆分求导

换序型

补充

常用三角函数的积分等式

区间简化公式

对称性的积分问题

定积分分部积分法的升阶、降解问题

内在联系

不定积分计算的基础是四大积分法和基本积分公式。

定积分计算的基础一个是定义（基本型、放缩型、变量型），一个是牛顿-莱布尼兹公式（区间再现公式和华里士公式）。

变限积分的基础也是牛顿-莱布尼兹公式，有直接求导，还有换元求导、拆分求导、换序型。

与求导相比，积分更加频繁地用到三角函数的运算。

行列式计算

这里主要讲具体型行列式的计算。抽象型行列式的计算容易靠综合题，就不展开了。

七大性质

行列等价

某一行（列）为零，则行列式为零

某一行和其他行对应成比例，则行列式为零

单行（列）可拆性

初等变换：互换、 倍乘、倍加

行列式的展开定理

代数余子式

具体型行列式的计算

化为基本型行列式：主对角线行列式、副对角线行列式、拉普拉斯展开式、范德蒙行列式

加边法

递推法（降阶）

数学归纳法（升阶）

行列式的计算首先是通过转置、互换、倍乘、倍加、可拆、拉普拉斯进行化简，然后更加类型进行计算。

高阶行列式计算的基本思想是化零和降阶；

矩阵计算

矩阵的计算是线性代数的基础，也是工具。线性代数中有四大运算（行列式运算，矩阵运算、逆运算、伴随矩阵运算），矩阵运算把这四种综合到一起了。

基本运算

加法

数乘矩阵（减法）

矩阵乘法（乘法）

转置矩阵

矩阵的逆运算（除法）

用定义法

用伴随矩阵

用初等变换

补充

行列式运算

逆运算

伴随矩阵运算

应用

微积分应用

小题部分（4+3）：常见考法用无穷小考极限、用微分性质考微分计算、用幂级数的收敛考极限、用积分应用考积分等等；

大题部分（5）：微分方程、中值定理、无穷级数、曲线积分、曲面积分；

概论与数理统计（2+1+2）：大题一个考分布、一个考估计；小题考概论计算、大数定律和数字特征。

行列式矩阵应用

线性代数中还有矩阵的秩、特征值以及相似理论的概念也十分关键。

线性代数（2+1+2）：大题一个考解方程，一个考相似理论；小题考行列式运算、矩阵运算、以及通过线性相关考矩阵的秩；

总结

考研数学的考试还是十分到位地考试了每一个高等数学的知识点。每个题目都可以发散展开到实际问题。

我目前对概论和数理统计十分感兴趣。

结尾推荐一下我看的一篇博客

数据挖掘中所需的概率论与数理统计知识

其中讲的内容刚好是我想知道的。以后多拜读拜读。

微积分是概数统计基础，概数统计则是DM&ML之必修课”。

数理统计当中，如正态分布的概率密度函数中用到了相关定积分的知识。

最小二乘法问题的相关探讨求证用到了求偏导数的等概念，这些都是跟微积分相关的知识。

《数理统计学简史》一书，从早期概率论的发展、棣莫弗的二项概率逼近讲到贝叶斯方法、最小二乘法、误差与正态分布等问题，有详有略，其中，重点阐述正态分布的历史由来。

里面有一句话我十分认可

学家研究数学问题的进程很少是按照我们数学课本的安排顺序推进的，现代的数学课本都是按照数学内在的逻辑进行组织编排的，虽然逻辑结构上严谨优美，却把数学问题研究的历史痕迹抹得一干二净。

我学习学科的时候喜欢研究该学科的历史，因为我觉得没有哪件事物是生来就有的，新事物往往诞生于旧事物。

在学习前端的时候，我单纯看HTML、CSS、JavaScript是真的看得一头雾水，但是看了其发展过程后，渐渐明白了其中的内在联系。

如我学前端的时候写了两篇博客，《前端技术架构与工程》初次笔记——wsdchong、《前端技术架构与工程》之编程语言笔记，一篇讲述了网页的发展史，一篇讲述了语言的发展史。这样我才明白HTML、CSS、JavaScript和后面诞生的sass、postcss、ES6的关系。

在学习概论和数理统计的时候也同样如此。《数理统计学简史》十分值得阅读。方便理解概数。

如果不看《数理统计学简史》，直接学概数，就会一头雾水，只能死记硬背。如教材上讲正态分布的时候

一上来便给出正态分布的概率密度(函数)，然后告诉我们说，符合这个概率密度(函数)的称为正态分布，紧接着阐述和证明相关性质，最后说了一句：”在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布，如人的身高，某零件长度的误差，海洋波浪的高度“，然后呢？然后什么也没说了。连正态分布中最基本的两个参数为μ、和σ 的的意义都不告诉我们(位置参数μ 即为数学期望，尺度参数为σ 即为方差，换句话说，有了期望μ 和方差σ ，即可确定正态分布)。

随后，教材上便开始讲数学期望，方差等概念，最后才讲到中心极限定理。

殊不知：正态分布的概率密度(函数)形式首次发现于棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理中，即先有中心极限定理，而后才有正态分布

十分有意思的一点是概数和赌博以及天文息息相关。

正态分布的时间简史

正态分布从首次出现到最终确立，其时间简史为：

1. 1705年，伯努力的著作推测术问世，提出伯努利大数定律；

2. 1730-1733年，棣莫弗从二项分布逼近得到正态密度函数，首次提出中心极限定理；

3. 1780年，拉普拉斯建立中心极限定理的一般形成；

4. 1805年，勒让德发明最小二乘法；

5. 1809年，高斯引入正态误差理论，不但补充了最小二乘法，而且首次导出正态分布；

6. 1811年，拉普拉斯利用中心极限定理论证正态分布；

7. 1837年，海根提出元误差学说，自此之后，逐步正式确立误差服从正态分布。

   如上所见，是先有的中心极限定理，而后才有的正态分布(当然，最后拉普拉斯用中心极限定理论证了正态分布)，能了解这些历史，想想，都觉得是一件无比激动的事情。所以，我们切勿以为概率论与数理统计的教材上是先讲的正态分布，而后才讲的中心极限定理，而颠倒原有历史的发明演进过程。

惠更新

(一)惠更新的论赌博的计算

所谓概率，即指一个事件发生，一种情况出现的可能性大小的数量指标，介于0和1之间，这个概念最初形成于16世纪，说来可能令你意想不到，凡事无绝对，早期很多概率论中的探讨却与掷骰子等当今看来是违法犯罪的赌博活动有着不可分割的联系，可以说，这些赌博活动反而推动了概率论的早期发展。

历史是纷繁多杂的，咱们从惠更斯的机遇的规律一书入手，此人指导过微积分的奠基者之一的莱布尼兹学习数学，与牛顿等人也有交往，终生未婚。如诸多历史上有名的人物一般，他们之所以被后世的人们记住，是因为他们在某一个领域的杰出贡献，这个贡献可能是提出了某一个定理或者公式，换句话来说，就是现今人们口中所说的代表作，一个意思。

而惠更新为当代人们所熟知的应该是他在《摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明》、《摆钟》等论文中提出了物理学史上钟摆摆动周期的公式

(二)创立数学期望

与此同时，惠更斯1657年发表了《论赌博中的计算》，被认为是概率论诞生的标志。同时对二次曲线、复杂曲线、悬链线、曳物线、对数螺线等平面曲线都有所研究。

《论赌博中的计算》中，惠更斯先从关于公平赌博值的一条公理出发，推导出有关数学期望的三个基本定理

伯努利

但惠更新关于概率论的讨论局限于赌博中，而把概率论由局限于对赌博机遇的讨论扩展出去的则得益于伯努利，他在惠更新的论赌博中的计算一书出版的56年，即1733年出版了划时代的著作：推测术。伯努利在此书中，不仅对惠更斯的关于掷骰子等赌博活动中出现的额各种情况的概率进行了计算，而且还提出了著名的“大数定律”，这个定律在历史上甚至到今天，影响深远，后续诸多的统计方法和理论都是建立在大数定律的基础上。

伯努利大数定律的结论毫无疑问是理所当然的，但直到1909年才有波莱尔证明。此外，此伯努利大数定律是我们今天所熟知的契比雪夫不等式的简单推论，但须注意的是在伯努利那个时代，并无“方差”这个概念，更不用说从这个不等式而推论出伯努利大数定律了。

棣莫弗

此外，常用的大数定律除了伯努利大数定律之外，还有辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律等定律。这里稍微提下辛钦大数定律。

在1733年，棣莫弗发展了用正态分布逼近二项分布的方法，这对于当时而言，是一实质性的深远改进。

据数理统计学简史一书上的说明，棣莫弗之所以投身到二项概率的研究，非因伯努利之故，而又是赌博问题(赌博贡献很大丫哈)。有一天一个哥们，也许是个赌徒，向棣莫弗提了一个和赌博相关的一个问题：A,B两人在赌场里赌博，A,B各自的获胜概率是p和q=1−p，赌n局，若A赢的局数X>np，则A付给赌场X−np元，否则B付给赌场np−X元。问赌场挣钱的期望值是多少？

上述问题的本质上是一个二项分布。虽然从上述公式可以集结此问题，但在N很大时，b(N,p,i)计算不易，故棣莫弗想找到一个更方便于计算的近似公式。

棣莫弗后来虽然做了一些计算并得到了一些近似结果，但是还不够，随后有人讲棣莫弗的研究工作告诉给了斯特林，于是，便直接催生了在数学分析中必学的一个重要公式斯特林公式(斯特林公式最初发表于1730年，而后棣莫弗改进了斯特林公式)

1733年，棣莫弗有了一个决定性意义的举动，他证明了当N趋于去穷时，二项分布的极限分布。

正态分布的概率密度(函数)在上述的积分公式中出现了！于此，我们得到了一个结论，原来二项分布的极限分布便是正态分布。与此同时，还引出了统计学史上占据重要地位的中心极限定理。

「棣莫弗-拉普拉斯定理」，我们便称此定理为中心极限定理。而且还透露着一个极为重要的信息：1730年，棣莫弗用二项分布逼近竟然得到了正太密度函数，并首次提出了中心极限定理。

还没完，随后，在1744年，拉普拉斯证明了

最终，1780年，拉普拉斯建立了中心极限定理的一般形式

棣莫弗的工作对数理统计学有着很大的影响，棣莫弗40年之后，拉普拉斯建立中心极限定理的一般形式，20世纪30年代最终完成独立和中心极限定理最一般的形式，在中心极限定理的基础之上，统计学家们发现当样本量趋于无穷时，一系列重要统计量的极限分布如二项分布，都有正态分布的形式，也就是说，这也构成了数理统计学中大样本方法的基础。

论述这个棣莫弗的二项概率逼近的相关过程，说明了一点：各个定理.公式彼此之前是有着紧密联系的，要善于发现其中的各种联系。

贝叶斯

介绍了惠更斯、伯努利和棣莫弗等人的重大成果，无疑在这些重要发明中，二项分布都占据着举重轻重的地位。这在早期的概率统计史当中，也是唯一一个研究程度很深的分布。但除了伯努利的大数定律及棣莫弗的二项逼近的研究成果外，在18世纪中叶，为了解决二项分布概率的估计问题，出现了一个影响极为广泛的贝叶斯方法，贝叶斯方法经过长足的发展，如今已经成为数理统计学中的两个主要学派之一：贝叶斯学派，牢牢占据数理统计学领域的半壁江山。

据数理统计学简史一书，托马斯.贝叶斯，此人在18世纪上半叶的欧洲学术界，并不算得上很知名，在提出贝叶斯定理之前，也未发表过片纸只字的科学论著，套用当今的话来说，他便是活生生一个民间学术屌丝。

未发表过任何科学著作，但一个人如果热爱研究，喜好学术的话，必找人交流。于此，诸多重大发明定理都出现在学者之间的一些书信交流中。奇怪的是，贝叶斯这方面的书信材料也不多。或许读者读到此处，已知我意，会说这一切在他提出贝叶斯定理之后有了改变，但读者朋友只猜对了一半。

贝叶斯的确发表了一篇题为An essay towards solving a problem in the doctrine of chances(机遇理论中一个问题的解)的遗作，此文在他发表后很长一段时间起，在学术界没有引起什么反响，直到20世纪以来，突然受到人们的重视，此文也因此成为贝叶斯学派最初的奠基石(又一个梵高式的人物)。

有人说贝叶斯发表此文的动机是为了解决伯努利和棣莫弗未能解决的二项分布概率P的“逆概率”问题。所谓逆概率，顾名思义，就是求概率问题的逆问题：已知时间的概率为P，可由之计算某种观察结果的概率如何；反过来，给定了观察结果，问由之可以对概率P作何推断。也就是说，正概率是由原因推结果，称之为概率论；而逆概率是结果推原因，称之为数理统计。

最小二乘法，数据分析的瑞士军刀

事实上，在成百上千的各式各样的攻击方法中，取算术平均恐怕是最广为人知使用也最为广泛的方法，因为可能一个小学生都知道使用算术平均来计算自己每天平均花了多少零花钱而以此作为向爸妈讨要零花钱的依据。而我们大多数成年人也经常把“平均说来”挂在嘴边。故此节要讲的最小二乘法其实并不高深，它的本质思想即是来源于此算术平均的方法。

不太精确的说，一部数理统计学的历史，就是从纵横两个方向对算术平均进行不断深入研究的历史，

• 纵的方面指平均值本身，诸如伯努利及其后众多的大数定律，棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，高斯的正太误差理论，这些在很大程度上都可以视为对算术平均的研究成果，甚至到方差，标准差等概念也是由平均值发展而来；

• 横的方面中最为典型的就是此最小二乘法。

  而算术平均也是解释最小二乘法的最简单的例子。使误差平方和达到最小以寻求估计值的方法，则称为最小二乘估计(当然，取平方和作为目标函数知识众多可取的方法之一，例如也可以取误差4次方或绝对值和，取平方和是人类千百年实践中被证实行之有效的方法，因此被普遍采用)。

说点后话，最小二乘法是与统计学有着密切联系的，因为观测值有随机误差，所以它同正态分布一样与误差论有着密切联系(说实话，最小二乘法试图解决的是误差最小的问题，而正态分布则是试图寻找误差分布规律的问题，无论是最小二乘法，还是正态分布的研究工作，至始至终都围绕着误差进行)。

最小二乘法是如何发明的呢？据史料记载，最小二乘法最初是由法国数学家勒让德于1805年发明的。那勒让德发明它的动机来源于哪呢？

18世纪中叶，包括勒让德、欧拉、拉普拉斯、高斯在内的许多天文学家和数学家都对天文学上诸多问题的研究产生了浓厚的兴趣。比如以下问题：

• 土星和木星是太阳系中的大行星，由于相互吸引对各自的运动轨道产生了影响，许多大数学家，包括欧拉和拉普拉斯都在基于长期积累的天文观测数据计算土星和木星的运行轨道。

• 勒让德承担了一个政府给的重要任务，测量通过巴黎的子午线的长度。

• 海上航行经纬度的定位。主要是通过对恒星和月面上的一些定点的观测来确定经纬度。

  这些问题都可以用数学模型描述，但是面临的一个问题是，有n组观测数据，p+1个变量，如果n>p+1，则得到的线性矛盾方程组，无法直接求解。所以欧拉和拉普拉斯采用的方法都是通过一定的对数据的观察，把n个线性方程分为p+1组，然后把每个组内的方程线性求和后归并为一个方程，从而就把n个方程的方程组化为p+1个方程的方程组，进一步解方程求解参数。这些方法初看有一些道理，但是都过于经验化，无法形成统一处理这一类问题的一个通用解决框架。
  以上求解线性矛盾方程的问题在现在的本科生看来都不困难，就是统计学中的线性回归问题，直接用最小二乘法就解决了，可是即便如欧拉、拉普拉斯这些数学大牛，当时也未能对这些问题提出有效的解决方案。可见在科学研究中，要想在观念上有所突破并不容易。有效的最小二乘法是勒让德在1805年发表的，基本思想就是认为测量中有误差

高斯

是勒让德最初发明的最小二乘法，那为何历史上人们常常把最小二乘法的发明与高斯的名字联系起来呢？(注：勒让德时期的最小二乘法还只是作为一个处理测量数据的代数方法来讨论的，实际上与统计学并无多大关联，只有建立在了测量误差分布的概率理论之后，这个方法才足以成为一个统计学方法。尽管拉普拉斯用他的中心极限定理定理也可以推导出最小二乘法，但无论是之前的棣莫弗，还是当时的勒让德，还是拉普拉斯，此时他们这些研究成果都还只是一个数学表达式而非概率分布)。

因为1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，即为高斯-马尔可夫定理。也就是说勒让德最初提出了最小二乘法，而却是高斯让最小二乘法得以巩固而影响至今。且高斯对最小二乘法的最大贡献在于他是建立在正太误差分布的理论基础之上的(后续更是导出了误差服从正态分布的结论)，最后，1837年，统计学家们正式确立误差服从正态分布，自此，人们方才真正确信：观测值与理论值的误差服从正态分布。

误差分布曲线的建立

十八世纪，天文学的发展积累了大量的天文学数据需要分析计算，应该如何来处理数据中的观测误差成为一个很棘手的问题。我们在数据处理中经常使用平均的常识性法则，千百年来的数据使用经验说明算术平均能够消除误差，提高精度。平均有如此的魅力，道理何在，之前没有人做过理论上的证明。算术平均的合理性问题在天文学的数据分析工作中被提出来讨论：测量中的随机误差应该服从怎样的概率分布？算术平均的优良性和误差的分布有怎样的密切联系？

伽利略在他著名的《关于两个主要世界系统的对话》中，对误差的分布做过一些定性的描述，主要包括：

• 误差是对称分布的分布在0的两侧；

• 大的误差出现频率低，小的误差出现频率高。

  用数学的语言描述，也就是说误差分布函数f(x)关于0对称分布，概率密度随|x|增加而减小，这两个定性的描述都很符合常识。

拉普拉斯可以算是一个贝叶斯主义者，他的参数估计的原则和现代贝叶斯方法非常相似：假设先验分布是均匀的，计算出参数的后验分布后，取后验分布的中值点，即1/2分位点，作为参数估计值。可是基于这个误差分布函数做了一些计算之后，拉普拉斯发现计算过于复杂，最终没能给出什么有用的结果，故拉普拉斯最终还是没能搞定误差分布的问题。

至此，整个18世纪，可以说，寻找误差分布的问题，依旧进展甚微，下面，便将轮到高斯出场了，历史总是出人意料，高斯以及其简单的手法，给了这个误差分布的问题一个圆满的解决，其结果也就成为了数理统计发展史上的一块重要的里程碑。

事实上，棣莫弗早在1730年~1733年间便已从二项分布逼近的途径得到了正态密度函数的形式，到了1780年后，拉普拉斯也推出了中心极限定理的一般形式，但无论是棣莫弗，还是拉普拉斯，此时他们这些研究成果都还只是一个数学表达式而非概率分布，也就是压根就还没往误差概率分布的角度上去思索，而只有到了1809年，高斯提出“正太误差”的理论之后，它正太理论才得以“概率分布“的身份进入科学殿堂，从而引起人们的重视。

追本溯源，正态分布理论这条大河的源头归根结底是测量误差理论。那高斯到底在正态分布的确立做了哪些贡献呢？请看下文。

1801年1月，天文学家Giuseppe Piazzi发现了一颗从未见过的光度8等的星在移动，这颗现在被称作谷神星（Ceres）的小行星在夜空中出现6个星期，扫过八度角后在就在太阳的光芒下没了踪影，无法观测。而留下的观测数据有限，难以计算出他的轨道，天文学家也因此无法确定这颗新星是彗星还是行星，这个问题很快成了学术界关注的焦点。高斯当时已经是很有名望的年轻数学家了，这个问题也引起了他的兴趣。高斯一个小时之内就计算出了行星的轨道，并预言了它在夜空中出现的时间和位置。1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯(Heinrich Olbers)在高斯预言的时间里，用望远镜对准了这片天空。果然不出所料，谷神星出现了！

高斯为此名声大震，但是高斯当时拒绝透露计算轨道的方法直到1809年高斯系统地完善了相关的数学理论后，才将他的方法公布于众，而其中使用的数据分析方法，就是以正态误差分布为基础的最小二乘法

受高斯启发，拉普拉斯将误差的正态分布理论和中心极限定理联系起来，提出了元误差解释。他指出如果误差可以看成许多微小量的叠加，则根据他的中心极限定理，随机误差理应当有高斯分布(换言之，按中心极限定理来说，正态分布是由大量的但每一个作用较小的因素的作用导致而成)。而20世纪中心极限定理的进一步发展，也给这个解释提供了更多的理论支持。

至此，误差分布曲线的寻找尘埃落定，正态分布在误差分析中确立了自己的地位。在整个正态分布被发现与应用的历史中，棣莫弗、拉普拉斯、高斯各有贡献，拉普拉斯从中心极限定理的角度解释它，高斯把它应用在误差分析中，殊途同归。不过因为高斯在数学家中的名气实在是太大，正态分布的桂冠还是更多的被戴在了高斯的脑门上，目前数学界通行的用语是正态分布、高斯分布，两者并用。

意犹未尽。上述文字没有作过多排版，各位感兴趣可以看看我上边的博客链接和《数理统计学简史》

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