【十分钟机器学习系列笔记】决策树-剪枝

视频作者：简博士 - 知乎 (zhihu.com)；简博士的个人空间_哔哩哔哩_bilibili
链接：【合集】十分钟 机器学习 系列视频 《统计学习方法》_哔哩哔哩_bilibili
原书：《统计学习方法》李航

决策树生成算法递归地产生决策树，直到不等你继续下去为止。这样产生的树往往对训练数据的分类很准确，但对未知的测试数据的分类却没有那么准确，模型结构过于复杂，即出现过拟合现象
直接来看优秀的决策树一般要求深度小、叶结点少

剪枝是我们常用来处理决策树的过拟合问题的手段，一般有预剪枝的后剪枝
预剪枝：生辰过程中，对每个节点划分前进行估计，若当前节点的划分不能提升泛化能力，则停止划分，记当前结点为叶结点
后剪枝：生成一颗完整的决策树之后，自底而上的对内部结点考察，若此内部节点变为叶结点，可以提升泛化能力，则做此替换

预剪枝

限定决策树的深度

通过ID3生成决策树

如果我们限定决策树的深度为2，那么我们需要对根蒂$\to$色泽进行剪枝
其中符合纹理为清晰，根蒂为稍蜷缩的数据有

显然是否好瓜中，是为2个，否为1个，因此我们认为剪枝后的根蒂在稍蜷缩的情况下，对叶结点为好瓜，即新的决策树为

阈值

在决策树的生成中，我们就有提到阈值，其由$ϵ$限制
我们可以计算$D$下各个特征的信息增益

如果我们设定$ϵ=0.4$，显然在确定根节点的时候，没有任何一个特征符合要求，因此返回单结点树，又因为$D$上坏瓜数量多于好瓜，因此唯一叶结点为坏瓜

基于测试集上的误差率

测试集上的误差率：测试集中错误分类的实例占比
测试集上的准确率：测试集中正确分类的实例占比

先构建单结点树，由于训练集中好瓜有5个，坏瓜有5个，我们认为单结点树类标记为好瓜。对于测试集，好瓜有3个，坏瓜有4个，因此可计算误差率$\begin{array}{r}P=\frac{4}{7}\end{array}$
再构建深度为1的树，计算最大信息增益，可得脐部为最大值，因此脐部作为根节点

与测试集对照，求得误差率$\begin{array}{r}P=\frac{2}{7}\end{array}$
显然误差率小于单结点树，因此保留该结点
再构建深度为2的树

计算脐部凹陷的情况下最大信息增益，可得色泽为最大值，计算误差率$\begin{array}{r}P=\frac{3}{7}\end{array}$，因此不保留该结点
计算脐部稍凹的情况下最大信息增益，可得根蒂为最大值，计算误差率$\begin{array}{r}P=\frac{2}{7}\end{array}$，根据奥卡姆剃刀原理（模型越简单越好），因此不保留该结点
在脐部为平坦的情况下，全为坏瓜，根据ID3算法要求，因此该结点即为叶结点，标记为坏瓜

后剪枝

降低错误剪枝（REP）

原理：自下而上，使用测试集来剪枝。对每个结点，计算剪枝前和剪枝后的误判个数，若是剪枝有利于减少误判（包括相等的情况），则剪掉该结点所在分枝
有点类似于预剪枝中的基于测试集上的误差率剪枝

该方法受测试集影响大，如果测试集比训练集小很多，会限制分类的精度。

例：

根据ID3算法，可得决策树

该决策树深度为4，现在我们尝试剪枝深度为3。从测试集中找到脐部为稍凹，根蒂为稍卷曲，色泽为乌黑的样本，编号8、9符合要求。与训练集所得决策树相比较，可得误判个数为2。
剪掉纹理所在的枝条，根据训练集数据，对应样本（脐部为稍凹，根蒂为稍卷曲，色泽为乌黑），编号为7、15，好瓜数量为1，坏瓜数量为1，因此我们令该叶结点（脐部为稍凹，根蒂为稍卷曲，色泽为乌黑）为好瓜，可得新的决策树

在新的决策树下该结点（脐部为稍凹，根蒂为稍卷曲，色泽为乌黑）误判个数为1，因此符合剪枝要求，进行剪枝
按照此方法不断递归剪枝，最终可得符合条件的决策树

显然该决策树是由欠拟合倾向的

悲观错误剪枝（PEP）

原理：根据剪枝前后的错误率来决定是否剪枝。
和REP不同之处在于，PEP只需要训练集即可，不需要验证集，并且PEP是自上而下剪枝的

优点：不需要分离剪枝数据集，有利于实例较小的问题；误差使用了连续修正值，使得适用性更强；由于自上而下的剪枝策略，PEP效率更高
但仍然有可能会剪掉不应剪掉的枝条

步骤：
剪枝前

1. 计算剪枝前目标子树每个叶结点的误差，并进行连续修正
   $$Error(Lea{f}_i)=\frac{error(Lea{f}_i)+0.5}{N(T)}$$

   其中$i$表示每个叶结点；$erro{r}_i(Lea{f}_i)$表示叶结点$Lea{f}_i$处误判的样本个数；$N(T)$表示的是总样本个数，剪谁，总样本就对应谁，不一定是整个$D$上的所有样本
   加0.5是为了连续型修正

   作者：Dr_Janneil
   链接：从二项分布到正态分布的连续性修正 (qq.com)

   这里阐述不是很准确，建议结合例题看

2. 计算剪枝前目标子树的修正误差
   $$Error(T)=\sum _{i=1}^{L}Error(Lea{f}_i)=\frac{\sum _{i=1}^{L}error(Lea{f}_i)+0.5\times L}{N(T)}$$

   $L$表示叶结点个数

3. 计算剪枝前目标子树误差个数的期望
   $$E(T)=N(T)\times Error(T)=\sum _{i=1}^{L}error(Lea{f}_i)+0.5\times L$$

4. 计算剪枝前目标子树误判个数的标准差
   $$std(T)=\sqrt{N(T)\times Error(T)\times (1-Error(T))}$$

   根据我们现在已经得到的叶结点误差数据，如果要们要预测整个子树的误差数量，则可以由已知的数据构造二项分布，即
   $$T\sim B(np,np(1-p))$$
   其中$p=Error(T),n=N(T)$

5. 计算剪枝前误判上限（即悲观误差）
   $$E(T)+std(T)$$
   这里的悲观误差是从期望上限来考虑的，那么我们这里只加了1个标准差

剪枝后

1. 计算剪枝后该结点的修正误差
   $$Error(Leaf)=\frac{error(Leaf)+0.5}{N(T)}$$
2. 计算剪枝后该结点误判个数的期望值
   $$E(leaf)=error(Leaf)+0.5$$
3. 比较剪枝前后的误判个数，如果满足以下不等式，则剪枝；否则，不剪枝
   $$E(Leaf)<E(T)+std(T)$$

例：用PEP判断是否要剪枝

$$\begin{array}{rl}Error(T)& =\frac{6+0.5\times 3}{30}=\frac{7.5}{30}\\ E(T)& =7.5\\ std(T)& =\sqrt{30\times \frac{7.5}{30}\times (1-\frac{7.5}{30})}=2.37\\ Error(Leaf)& =\frac{13+0.5}{30}=\frac{13.5}{30}\\ E(Leaf)& =13.5\\ 9.87& <13.5\end{array}$$
不剪枝

最小误差剪枝（MEP）

原理：根据剪枝前后的最小分类错误概率例决定是否剪枝。自下而上剪枝，只需要训练集即可

在节点$T$处，计算出属于类别$k$的概率
$$P_k(T)=\frac{n_k(T)+P{r}_k(T)\times m}{N(T)+m}$$
其中$N(T)$为该节点处总样本个数；$n_k(T)$为结点下属于类别$k$的样本个数；$P{r}_k(T)$为类别$k$的先验；$m$是先验概率对后验概率的影响

如果$\begin{array}{r}m\to 0,P_k(T)\to \frac{n_k(T)}{N(T)}\end{array}$，意味着以后验概率为准
如果$\begin{array}{r}m\to \infty ,P_k(T)\to P{r}_k(T)\end{array}$，意味着以先验概率为准

在节点$T$处，计算出预测出错率
$$Error(T)=\min \left\{1-P_k(T)\right\}$$
如果我们将节点$T$记为类别$k$，那么上式意味着不属于类别$k$的概率，代入$P_k(T)$
$$Error(T)=\min \left\{\frac{N(T)-n_k(T)+m(1-P{r}_k(T))}{N(T)+m}\right\}$$
如果先验概率是确定的（一般，在无任何假设的情况下，我们通常假设各类别是等概率出现的，因此，先验概率为$\begin{array}{r}P{r}_k(T)=\frac{1}{K}\end{array}$），那么该式就是以$m$作为变量的函数，我们可以通过计算
$$\underset{m}{\mathrm{argmin}}Error(T)$$
来得到$m$。在这里为了演示MEP算法，假设$m=K$，$K$为类别的总个数，因此预测错误率可以写作
$$Error(T)=\frac{N(T)-n_k(T)+K-1}{N(T)+K}$$

步骤

1. 计算剪枝前目标子树每个叶结点的预测错误率
   $$Error(Lea{f}_i)=\frac{N(Lea{f}_i)-n_k(Lea{f}_i)+K-1}{N(Lea{f}_i)+K}$$
   $N(Lea{f}_i)$代表叶结点处样本的总个数，$n_k(Lea{f}_i)$代表叶结点下属于$k$类的样本个数
2. 计算剪枝前目标子树的预测错误率
   假设目标子树中一共有$L$个叶结点
   $$Error(Leaf)=\sum _{i=1}^L{\omega }_{i}Error(Lea{f}_i)=\sum _{i=1}^L\frac{N(Lea{f}_i)}{N(T)}Error(Lea{f}_i)$$
   这里$\begin{array}{r}{\omega }_i=\frac{N(Lea{f}_i)}{N(T)}\end{array}$指每个叶子结点对应目标子树的权重
3. 计算剪枝后目标子树的预测错误率
   $$Error(T)=\frac{N(T)-n_k(T)+K-1}{N(T)+K}$$
4. 比较剪枝前后的预测错误率，如果满足以下不等式，则剪枝；否则，不剪枝
   $$Error(T)<Error(Leaf)$$

例：通过MEP判断T4-T5是否可以剪枝

计算剪枝前目标子树每个叶结点的预测错误率
$$\begin{array}{rl}Error(T7)& =\frac{N(T7)-n_7(T7)+K-1}{N(T7)+K}=\frac{11-9+2-1}{11+2}=\frac{3}{13}\\ Error(T8)& =\frac{N(T8)-n_8(T8)+K-1}{N(T8)+K}=\frac{9-8+2-1}{9+2}=\frac{2}{11}\end{array}$$
计算剪枝前目标子树的预测错误率
$$\begin{array}{rl}Error(Leaf)& ={\omega }_{7}Error(T7)+{\omega }_{8}Error(T8)\\ & =\frac{11}{20}\times \frac{3}{13}+\frac{9}{20}\times \frac{2}{11}\\ & =0.2087\end{array}$$
计算剪枝后目标子树的预测错误率
$$Error(T5)=\frac{N(T5)-n_5(T5)+K-1}{N(T5)+K}=\frac{20-10+2-1}{20+2}=\frac{11}{22}=0.5$$
显然$0.2087<0.5$，因此不能剪枝

基于错误剪枝（EBP）

原理：根据剪枝前后的误判个数来决定是否剪枝。自下而上剪枝，只需要训练集即可

计算置信水平$\alpha$下每个结点的误判上界
$$U_{\alpha }(e(T),N(T))=\frac{e(T)+0.5+\frac{q_{\alpha }^2}{2}+q_{\alpha }\sqrt{\frac{(e(T)+0.5)(N(T)-e(T)-0.5)}{N(T)}+\frac{q_{\alpha }^2}{4}}}{N(T)+q_{\alpha }^2}$$
其中
$\begin{array}{r}Error(T)=\frac{e(T)+0.5}{N(T)}\end{array}$，也就是误判率，$e(T)$代表样本的误判个数，$N(T)$代表样本总个数，$0.5$为连续型修正
$U_{\alpha }(e(T),N(T))$表示在置信水平为$\alpha$下的误差率上界
$\begin{array}{r}\frac{(e(T)+0.5)(N(T)-e(T)-0.5)}{N(T)}=N(T)\cdot \frac{e(T)+0.5}{N(T)}\cdot \frac{N(T)-e(T)-0.5}{N(T)}\end{array}$表示二项分布里的方差，即$np(1-p)$，$p$为误判率
$\begin{array}{r}\frac{q_{\alpha }^2}{2}\end{array}$就是对方差的修正
$q_{\alpha }$代表标准正态分布的上分位数，一般的上分位数我们可以通过查标准正态分布表得到。特殊的值我们可以找到周围的两个点，然后通过构建过已知两点的直线在估计中间的值。在该算法中（C4.5），$q_{\alpha }$取$0.6925$，对应$\alpha =0.75$

$q_{\alpha }$可能描述不对，但值是对的

步骤：

1. 计算剪枝前目标子树每个叶子结点的误判率上界
   $$U_{CF}(e(Lea{f}_i),N(Lea{f}_i))=\frac{e(Lea{f}_i)+0.5+\frac{q_{\alpha }^2}{2}+q_{\alpha }\sqrt{\frac{(e(Lea{f}_i)+0.5)(N(Lea{f}_i)-e(Lea{f}_i)-0.5)}{N(Lea{f}_i)}+\frac{q_{\alpha }^2}{4}}}{N(Lea{f}_i)+q_{\alpha }^2}$$
   设$L$代表子树上有$L$个叶结点，因此我们就要算$L$个误判率上界
2. 计算剪枝前目标子树的误判个数上界
   $$E(Leaf)=\sum _{i=1}^{L}N(Lea{f}_i)U_{CF}(e(Lea{f}_i),N(Lea{f}_i))$$
   这一步骤就是将每个叶子结点的个数乘以对应的误判率上界后求和，就得出了这棵子树上的误判个数上界。
3. 计算剪枝后目标子树的误判率上界
   $$U_{CF}(e(T),N(T))=\frac{e(T)+0.5+\frac{q_{\alpha }^2}{2}+q_{\alpha }\sqrt{\frac{(e(T)+0.5)(N(T)-e(T)-0.5)}{N(T)}+\frac{q_{\alpha }^2}{4}}}{N(T)+q_{\alpha }^2}$$
4. 计算剪枝后目标子树的误判个数上界
   $$E(T)=N(T)U_{CF}(e(T),N(T))$$
   只需要计算将目标子树替换成叶子结点后的误判率上界。
5. 比较剪枝前后的误判个数上界，如果满足以下不等式，则剪枝；否则，不剪枝。
   $$E(T)<E(Leaf)$$

例：通过EBP判断$T$是否可以剪枝

计算剪枝前目标子树每个叶子结点的误判率上界
$$\begin{array}{rl}{U}_{CF}(0,6)& =\frac{e(Lea{f}_i)+0.5+\frac{q_{\alpha }^2}{2}+q_{\alpha }\sqrt{\frac{(e(Lea{f}_i)+0.5)(N(Lea{f}_i)-e(Lea{f}_i)-0.5)}{N(Lea{f}_i)}+\frac{q_{\alpha }^2}{4}}}{N(Lea{f}_i)+q_{\alpha }^2}\\ & =\frac{0+0.5+\frac{0.6925^2}{2}+0.6925\sqrt{\frac{(0+0.5)(6-0-0.5)}{6}+\frac{0.6925^2}{4}}}{6+0.6925^2}\\ & =0.206\\ U_{CF}(0,9)& =0.143\\ U_{CF}(0,1)& =0.75\end{array}$$
计算剪枝前目标子树的误判个数上界
$$\begin{array}{rl}E(Leaf)& =\sum _{i=1}^{L}N(Lea{f}_i)U_{CF}(e(Lea{f}_i),N(Lea{f}_i))\\ & =6\times 0.206+9\times 0.143+1\times 0.75\\ & =3.273\end{array}$$
计算剪枝后目标子树的误判率上界
$$U_{CF}(1,16)=0.157$$
计算剪枝后目标子树的误判个数上界
$$E(T)=N(T)U_{CF}(e(T),N(T))=16\times 0.157=2.512$$
比较剪枝前后的误判个数上界，如果满足以下不等式，则剪枝；否则，不剪枝
$$E(T)=2.512<3.273=E(Leaf)$$
因此可以剪枝

CSDN话题挑战赛第2期
参赛话题：学习笔记