矩阵论笔记（四）——酉空间与酉变换

酉空间是定义在复数域上的内积空间。

由于在复数中， i2=−1 ，为了使内积为正，需要在转置中加入了共轭的操作。这是酉空间与实数域的欧氏空间的主要区别。二者有一套平行的理论。

定义

（1）酉空间：复数域上的 V 定义两向量到复数的对应关系 (x,y)，满足交换律（ (x,y)=(y,x)⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ）、分配率、齐次性（ (kx,y)=k(x,y) ，但 (x,ky)=k⎯⎯(x,y) ）、非负性，称为内积， V 称为复内积空间或酉空间；
（2）正规矩阵：A∈Cn×n 且 AHA=AAH 。易知正交阵、酉矩阵、对角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵都是正规矩阵；
（3）谱分解：由以下定理三，对于 Hermite 矩阵 A ，存在酉矩阵 P 使 PHAP=Λ 。所以 A=PΛPH=λ1(p1pH1)+⋯+λn(pnpHn) ；
（4）对应关系：① 共轭转置 →对应 转置，② Hermite 变换 →对应 对称变换，③ Hermite 矩阵 →对应 对称矩阵，④ 酉变换 →对应 正交变换，⑤ 酉矩阵 →对应 正交矩阵。

定理

（1）定理一：由内积定义，可直接得到：
   ① (x,ky)=k⎯⎯(x,y) .
   ② (x,0)=(0,x)=0 .
   ③ (∑ni=1ξixi, ∑ni=1ηiyi)=∑ni=1ξiη⎯⎯i(xi,yi) .
   ④ 模： ∥x∥=(x,x)‾‾‾‾‾√ .
   ⑤ 三角不等式： (x,y)(y,x)≤(x,x)(y,y) ，仅当 x,y 线性相关时等号成立.
   ⑥ 夹角： cos2<x,y>=(x,y)(y,x)(x,x)(y,y) ，当 (x,y)=0 时称二者正交/垂直.
   ⑦ 正交化：任意线性无关向量组可通过 Schmidt 正交化方法正交化.
   ⑧ 正交基：任意非零酉空间都存在正交基和标准正交基.
   ⑨ 直和：任意 Vn 均为其子空间 V1 与 V⊥1 的直和.
   ⑩ 酉变换： (x,x)=(Tx,Tx) (x∈V) .
   ⑪ 酉变换充要条件： T 是酉变换的充要条件是对任意 x,y 都有 (x,y)=(Tx,Ty) .
   ⑫ 酉矩阵：酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵是酉矩阵，即 AHA=AAH=I .
   ⑬ 酉矩阵运算：酉矩阵的逆矩阵、乘积仍是酉矩阵.
   ⑭ Hermite 变换： (Tx,y)=(x,Ty) (x,y∈V) ，也称为酉对称变换.
   ⑮ Hermite 矩阵：Hermite 变换在标准正交基下的矩阵为 Hermite 矩阵，即 AH=A .
   ⑯ 特征值：Hermite 矩阵的特征值都是实数.
   ⑰ 特征向量正交：Hermite 矩阵的不同特征值的特征向量必定正交.

注意： (x,y) 与 (y,x) 互为共轭。

（2）定理二：（Schur 定理）① 任一复矩阵必酉相似于三角阵，对角元素为其 n 个特征值，② 任一实矩阵必正交相似于三角阵，对角元素为其 n 个特征值；

（3）定理三：① A∈Cn×n ，则 A 酉相似于对角阵的充要条件是 A 为正规矩阵，② A∈Rn×n ，且 A 的特征值都是实数，则 A 正交相似于对角阵的充要条件是 A 为正规矩阵；

（4）推论一：实对称矩阵正交相似于对角矩阵；
（5）推论二：设 T 是欧氏空间的对称变换，则 Vn 中存在标准正交基使 T 在该基下的矩阵为对角阵。

证明

（1）证明定理三：必要性略。充分性，由定理二知 A 酉相似于三角阵 PHAP=B ，带入 BHB=BBH 得除对角元素外均为零，即 A 酉相似于对角阵；
（2）证明推论二：注意到 T 在某基下的 A 正交相似于对角阵即 QTAQ=Λ，取过渡矩阵为 $Q$ 换到另一组基即可。