自然常数与欧拉公式
自然常数与欧拉公式
数学，可以用美（beauty）来形容吗?
作者Ian Sample在文章Magic Numbers: Can Maths Equations Be Beautiful?中，说了这样一句话：Maths has the same capacity for beauty as art, music, a full blanket of stars on the darkest night。数学具有与艺术，与音乐，与漆黑夜空中繁星闪耀般同质的美。
那闪耀群星中，有一颗让人如痴如醉，摄人心魄的星辰。费曼把它称作The most remarkable formula in mathematics，全宇宙中，最美丽的公式----欧拉公式。
e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1=0 eiπ+1=0
诶，也许你会说了，这不就是一个指数函数嘛，怎么就跟美扯上关系了？这都美的话，那我还说 1 + 1 = 2 1+1=2 1+1=2也是最美的公式呢！别急，让我们一点一点的来，好茶需要慢慢品味。
在这之前，有个秘密我想分享给大家。其实自然常数 e e e，一点也不自然！
说到自然常数 e e e的身世，就不得不提另一个概念：复利公式。我们都知道，存款是有利率的，假设这个年利率为 1 / n 1/n 1/n，在 n n n年之后，连带着本金应当为：
I × ( 1 + 1 n ) n I\times(1+\frac{1}{n})^n I×(1+n1)n
假设本金 I = 1 I=1 I=1，于是公式(2)可以变形为：
( 1 + 1 n ) n (1+\frac{1}{n})^n (1+n1)n
这个式子，考研的同学应当熟稔于心了吧，什么？不太清楚？那这样呢：
l i m n → inf ( 1 + 1 n ) n lim_{n\to\inf}(1+\frac{1}{n})^n limn→inf(1+n1)n
我们洛一下看看？
l i m ( 1 + 1 n ) n = l i m e l n ( 1 + 1 n ) n = e l i m n ( l n ( 1 + 1 n ) ) = e l i m l n ( 1 + 1 n ) ′ 1 n ′ = e l i m 1 1 + 1 n = e 1 = e lim\ (1+\frac{1}{n})^n=lim\ e^{ln(1+\frac{1}{n})^n}\\ =e^{lim \ n(ln(1+\frac{1}{n}))}\\ =e^{lim\ \frac{ln(1+\frac{1}{n})'}{\frac{1}{n}'}}\\ =e^{lim\ \frac{1}{1+\frac{1}{n}}} \\ =e^1 \\ =e lim (1+n1)n=lim eln(1+n1)n=elim n(ln(1+n1))=elim n1′ln(1+n1)′=elim 1+n11=e1=e
当然，是先有的这个公式，然后才有的 e e e，在平时的学习中，则是通过后验知识 e e e去求解极限。或许，单凭这个公式并不能看出来什么，我们再举个例子。
假设有一个飞船以速度1进行飞行，在一小时后，它的速度突然变成了2，速度的变化率是 100 % 100\% 100%。可能不少同学会觉得，经典物理世界中速度是连续的啊，怎么可以突变呢？
假设嘛当然要大胆点啦，所以我们接下来更加大胆：假设飞船每半个小时加一次能够突变速度的燃料，加速到一半时，之前的速度再次突变，每半个小时的数率变化都是之前的50%，那么一个小时中，飞船的速度变化为 ( 1 + 100 % 2 ) 2 = 2.25 (1+\frac{100\%}{2})^2=2.25 (1+2100%)2=2.25，第一个三十分钟，速度的变化率是 50 % 50\% 50%，第二个三十分钟，速度的变化率也是 50 % 50\% 50%。一个三十分钟，又可以拆成三个十分钟，一个十分钟又可以拆成十个一分钟…
直到最后，一小时成了无限个连续 ( n → lim ) (n\to\lim) (n→lim)的小时间块，假设这些小时间块远远小于一个刹那，那么我们可以近似认为，这一个小时是连续的。让这些小时间块继承速率变化，那么每一块时间块能继承的数率为： 1 n \frac{1}{n} n1，(加起来或者说积分起来是1哦)。于是，在给定的单位时间内，飞船的速度变化的极限应该是：
1 × ( 1 + 1 n ) n ( n → lim ) = e 1\times(1+\frac{1}{n})^n(n\to \lim)=e 1×(1+n1)n(n→lim)=e
有些难理解，简单来说，如果有个细胞在单位时间是翻倍变化的，如果过程是离散的，那时刻1和时刻2对应的数量应当发生裂变。可如果过程是连续的，那么当时刻1.5时，此时已经有1.5时刻发生裂变的产生的新细胞和原始细胞了，原始细胞的进度是 50 % 50\% 50%，在下一个0.5时刻，这原始细胞和新细胞都要发生分裂。当这个时间足够小，分裂的极限就是e。
也就是说，e是连续的代言人，是增长的极限。
以上，是乘法上的e，也是其中非常重要的意义之一。
如果我们将 e e e通过泰勒展开，可以得到如下的无穷级数：
e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ + 1 n ! e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!} e=1+1!1+2!1+3!1+4!1+⋯+n!1
同样可以这样理解：初始细胞量最终应该分裂出等量的细胞，所以是 1 + 1 1 ! 1+\frac{1}{1!} 1+1!1，而半途中分裂出的新细胞，又可以继续分裂 1 2 ! \frac{1}{2!} 2!1,直到无穷。
当这个 e e e作为底数，引入变量 x x x后的泰勒展开为：
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ + x n n ! e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} ex=1+1!x+2!x2+3!x3+4!x4+⋯+n!xn
欧拉发现，这个级数的展开怎么跟下面俩玩意长得差不多呢？
c o s ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + x 8 8 ! + ⋯ s i n ( x ) = x 1 ! − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ sin(x)=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots cos(x)=1−2!x2+4!x4−6!x6+8!x8+⋯sin(x)=1!x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯
这俩系数一个是02468...一个是13579...（我乱说的)，加起来是不是就完整啦！
c o s ( x ) + s i n ( x ) = 1 + x 1 ! − x 2 2 ! − x 3 3 ! + x 4 4 ! + x 5 5 ! + ⋯ + x n n ! cos(x)+sin(x)=1+\frac{x}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^{5}}{5!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} cos(x)+sin(x)=1+1!x−2!x2−3!x3+4!x4+5!x5+⋯+n!xn
这不就是换了符号的 e x e^x ex吗？那么该如何让两者之间产生联系？？观察可以发现，每当 x 2 x^2 x2的时候，都会更换符号！ x 2 = − 1 ! x^2=-1! x2=−1! 这不就是虚数吗！
你问什么是虚数？
看，这是一个数轴：
x = 1 x=1 x=1是数轴上的一个点：
我们把他旋转180°，就成了 x = − 1 x=-1 x=−1
那如果是旋转90°呢？这个点会跑到哪里去？
诶诶诶，这不对啊，这里根本没有轴啊！这里是空的啊！
是的，没错，这里是空的，是虚假的。要不然怎么称虚数是数学史上最大胆的想象呢~数学家们凭空在这里填上了一个维度，要问这个维度的意义嘛，那就是 i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1
这样一个二维坐标系，以Image和Real为坐标轴，我们将其称为复平面。
复平面中的点可以表示为：
( a , b ) = a + b i (a,b)=a+bi (a,b)=a+bi
等号右边的也叫做复数(Complex number)。
我们让实数变量x作为虚数ix，那么就可以得到：
e i x = 1 + i x 1 ! − x 2 2 ! − i x 3 3 ! + x 4 4 ! + ⋯ + x n n ! = c o s ( x ) + i ⋅ s i n ( x ) e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\\ =cos(x)+i\cdot sin(x) eix=1+1!ix−2!x2−3!ix3+4!x4+⋯+n!xn=cos(x)+i⋅sin(x)
于是最终的欧拉公式写作：
e i x = c o s ( x ) + i ⋅ s i n ( x ) e^{ix}=cos(x)+i\cdot sin(x) eix=cos(x)+i⋅sin(x)
这个公式将三角函数与复指数函数联系了起来，当变量 x x x取值为 π \pi π时，我们可以化简为：
e i π = − 1 + 0 e^{i\pi}=-1+0 eiπ=−1+0
也就是我们一开始看到的：
e i π + 1 = 0 e^{i\pi}+1=0 eiπ+1=0
自然常数 e e e，抽象虚数 i i i，圆周率 π \pi π， 0 0 0和 1 1 1，就这样被巧妙的联系在了一起。
几何意义
如果x是随时间线性变化的参数，那么，可以得到如下三维坐标轴上的螺旋线，这个螺旋线在复平面上的投影是一个圆，投影点在圆上做匀速圆周运动。
e i 1 e^{i 1} ei1表示在复平面上覆盖了一个单位角的所有点，这是由公式
e = lim ( 1 + i n ) n e=\lim (1+\frac{i}{n})^n e=lim(1+ni)n
取值得到的。
由此，我们可以推出一个指数虚数的含义，例如 3 i 3^i 3i，可以转换为： e i l n 3 e^{iln3} eiln3即在复平面圆周上运动 l n 3 ln3 ln3弧度。
参考文献
[1] https://www.zhihu.com/question/284620618/answer/523818835
[2] https://www.zhihu.com/question/23074201/answer/23524103
[3] https://www.bilibili.com/video/BV1Es411P7tr/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.0&vd_source=b6ddb37b0dc1af8da34b699b1daf8a16
[4] https://zhuanlan.zhihu.com/p/19759362
[5] https://zhuanlan.zhihu.com/p/151226805
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[6] https://www.matongxue.com/madocs/8