欧拉公式理解

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欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。


在欧拉公式中，虚数i占有特殊的地位，认识这个公式就需先从i开始：

虚数i大家在高中接触过，但那时我们只知道它是-1的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色线段，它的长度是1。当它乘以3的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段3，而当它乘以-1的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。
我们知道乘-1其实就等于乘了两次 i，因i×i=-1，这样就使线段旋转了180度，那么乘一次 i 呢？

答案很简单：旋转了90度呗。


这个公式的关键作用就是将正弦波统一成了简单的指数形式，我们来看看它图像上的涵义
可见，欧拉公式所描绘的正是在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，这个点在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数，而右侧投影则是一个正弦函数。
现代物理学告诉我们，宏观宇宙的构成本质是旋转的，带有圆周运动和自旋性；微观世界也是旋转的，也带有圆周运动和自旋性，而欧拉公式描述的核心正是旋转与频率，因此，在物理学定量意义上讲，称它是宇宙第一公式一点也不为过！