2019-10-12 欧拉公式的理解

欧拉公式

参考Wikipedia，欧拉公式（Euler’s Formula）数学表达式为：
$$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$$$$e^{i\omega t}=\cos \omega t+i\sin \omega t$$
其中，$\phi$为逆时针旋转的角度。
如下图所示：

上述公式通过把自然常数和复数（虚数）联系起来表示，欧拉公式在许多领域具有重要的应用，比如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。那么这个公式中的参数具有什么实际意义？其表达形式又有什么应用背景和直观理解呢？如何推导呢？

1. 复数$i$

复数基$i$是相对于实数基$1$的垂直的基，我们可以理解为$1$往往在图纸上记为水平向右的单位向量，$i$往往在图纸上记为水平向上的单位向量，那么如何从数学模型上进行理解呢？
中学时代学过如下的公式：
$$i^2=-1$$
将此公式进行修改：
$$1\cdot i\cdot i=-1$$$$1\cdot i=i$$$$1=1$$
即将$1$乘过1次$i$之后，相当于逆时针旋转了$90°$，乘第2次$i$之后，相当于再次逆时针旋转了$90°$，总共旋转$180°$，从$1$变成了$-1$。
再思考一步：如果$i$前面带了系数呢？比如$$1\cdot 0.5i\cdot 0.5i=-0.25$$
那么可以解释为：进行了2次逆时针旋转$90°$的操作，并且每次在旋转过程中长度缩为上一次的$0.5$倍。
OK，我们知道了$ki$代表逆时针旋转$90°$，并且长度缩放为k倍。

2. 自然常数$e$

自然常数$e$在中学时代学习过，其大小约为$2.71828$，为什么是这个值呢？这里有一个复利的经典例子，常用来描述$e$的值如何取到：
假设有一个银行的存款年利率是$100\%$，即$1$元钱存一年可以获得利息$1$元钱，存半年可以获得利息$0.5$元钱。那么我们想到，在不存在时间间隔的情况下，我可以隔一段时间连本带利取出来，瞬间再存进去，比如：

1. $1$元钱存一年，获得$2$元；
2. $1$元钱存半年，获得$1.5$元，再全部放入，获得$2.25$元；
3. $1$元钱每$0.25$年取出存入一次，年底获得$(1+0.25{)}^4$元；
4. …
5. 以此类推，分无数次取出存入，年底获得$\underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n$元，其极限值约为2.71828。

过程如下图所示：

再讨论一步：当年利率不是$100\%$，而是$50\%$，那么最终极限为：
$$\begin{gathered} \underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{0.5}{n}{)}^n= \\ \underset{m\to +\infty }{\lim }(1+\frac{0.5}{0.5m}{)}^{0.5m}= \\ \underset{m\to +\infty }{\lim }{[(1+\frac{1}{m}{)}^m]}^{0.5}=e^{0.5} \end{gathered}$$
那么我们知道了$e^x$代表的是利率为$x$的复利式的无穷次迭代，即每一次都在当前基础上增长$x/n$倍，重复$n$次（$n$趋于$+\infty$）

3. $e^{i\phi }$

由上面的内容，我们知道了两点信息：

1. $i$代表逆时针旋转$90°$；
2. $e^x$代表的是利率为$x$的复利式的无穷次迭代，即每一次都在当前基础上增长$x/n$倍，重复$n$次（$n$趋于$+\infty$）。

那么$e^{i\phi }$代表的是什么呢？
$e^{i\phi }$代表：原始值为$1$，然后每次增长$i\phi /n$倍，意为在上一步向量的基础上加上$\phi /n$倍长度且逆时针旋转$90°$的向量（假设$\phi >0$），重复$n$次（$n$趋于$+\infty$）；

接下来是如何计算这样的结果？
轻轻闭上眼睛，想象这样的画面，有一个二维坐标系，一个单纯可爱的水平向量从$0$指向$1$，然后垂直于向量向上，在箭头处加上一个微乎其微的小小小小的小向量，轻轻合成一下，哇，它转动了！！！然后再加一个垂直的微乎其微的小小小小的小向量，轻轻合成一下，它又转了！！！然后不断地转啊转，发现就转了一个圆，但是不管转多少次，它总有停下来的一天，哦，原来它就是单位圆里面从圆心指向边的某一点的一个向量。证毕。

要是这样证明，应该会被老师批到怀疑人生，实际上往往可以采用指数函数、三角函数的泰勒展开，进行推导， 我们此处还按照上面思考的角度以数学语言进行推导：

证明：

1. 长度：无穷次叠加向量之后，最终合成的向量长度为
   $$\underset{n\to +\infty }{\lim }(1^2+\frac{{\phi }^2}{n^2}{)}^{\frac{n}{2}}=1$$
2. 角度：每次旋转的角度近似为$\frac{\phi }{n}$，那么在旋转$n$次后，旋转角度为$\phi$。
3. 即无穷次旋转之后获取到的向量为长度为$1$，逆时针角度为$\phi$，这个结论与一开始的欧拉公式图是相符的，即为$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$。

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Matlab验证：

>> exp(sqrt(-1)*pi/7)-(cos(pi/7)+sqrt(-1)*sin(pi/7))

ans =

     0

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此次欧拉公式的内容为之后要写的拉普拉斯变换做准备。
（注：不够严谨的地方望指正，谢谢）