2019-10-12 欧拉公式的理解

欧拉公式

参考Wikipedia,欧拉公式(Euler’s Formula)数学表达式为:
e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi eiφ=cosφ+isinφ e i ω t = cos ⁡ ω t + i sin ⁡ ω t e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t et=cosωt+isinωt
其中, φ \varphi φ为逆时针旋转的角度。
如下图所示:
2019-10-12 欧拉公式的理解_第1张图片
上述公式通过把自然常数和复数(虚数)联系起来表示,欧拉公式在许多领域具有重要的应用,比如:拉普拉斯变换、傅里叶变换等。那么这个公式中的参数具有什么实际意义?其表达形式又有什么应用背景和直观理解呢?如何推导呢?

1. 复数 i i i

复数基 i i i是相对于实数基 1 1 1的垂直的基,我们可以理解为 1 ⃗ \vec{1} 1 往往在图纸上记为水平向右的单位向量, i ⃗ \vec{i} i 往往在图纸上记为水平向上的单位向量,那么如何从数学模型上进行理解呢?
中学时代学过如下的公式:
i 2 = − 1 i^2=-1 i2=1
将此公式进行修改:
1 ⋅ i ⋅ i = − 1 1\cdot i\cdot i=-1 1ii=1 1 ⋅ i = i 1\cdot i=i 1i=i 1 = 1 1=1 1=1
即将 1 1 1乘过1次 i i i之后,相当于逆时针旋转了 90 ° 90\degree 90°,乘第2次 i i i之后,相当于再次逆时针旋转了 90 ° 90\degree 90°,总共旋转 180 ° 180\degree 180°,从 1 1 1变成了 − 1 -1 1
再思考一步:如果 i i i前面带了系数呢?比如 1 ⋅ 0.5 i ⋅ 0.5 i = − 0.25 1\cdot 0.5 i\cdot0.5 i=-0.25 10.5i0.5i=0.25
那么可以解释为:进行了2次逆时针旋转 90 ° 90\degree 90°的操作,并且每次在旋转过程中长度缩为上一次的 0.5 0.5 0.5倍。
OK,我们知道了 k i ki ki代表逆时针旋转 90 ° 90\degree 90°,并且长度缩放为k倍。

2. 自然常数 e e e

自然常数 e e e在中学时代学习过,其大小约为 2.71828 2.71828 2.71828,为什么是这个值呢?这里有一个复利的经典例子,常用来描述 e e e的值如何取到:
假设有一个银行的存款年利率是 100 % 100\% 100%,即 1 1 1元钱存一年可以获得利息 1 1 1元钱,存半年可以获得利息 0.5 0.5 0.5元钱。那么我们想到,在不存在时间间隔的情况下,我可以隔一段时间连本带利取出来,瞬间再存进去,比如:

  1. 1 1 1元钱存一年,获得 2 2 2元;
  2. 1 1 1元钱存半年,获得 1.5 1.5 1.5元,再全部放入,获得 2.25 2.25 2.25元;
  3. 1 1 1元钱每 0.25 0.25 0.25年取出存入一次,年底获得 ( 1 + 0.25 ) 4 (1+0.25)^4 (1+0.25)4元;
  4. 以此类推,分无数次取出存入,年底获得 lim ⁡ n → + ∞ ( 1 + 1 n ) n \lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{1}{n})^n n+lim(1+n1)n元,其极限值约为2.71828。

过程如下图所示:
2019-10-12 欧拉公式的理解_第2张图片
再讨论一步:当年利率不是 100 % 100\% 100%,而是 50 % 50\% 50%,那么最终极限为:
lim ⁡ n → + ∞ ( 1 + 0.5 n ) n = lim ⁡ m → + ∞ ( 1 + 0.5 0.5 m ) 0.5 m = lim ⁡ m → + ∞ [ ( 1 + 1 m ) m ] 0.5 = e 0.5 \lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{0.5}{n})^n=\\ \lim\limits_{m\to+\infty} \quad (1+\frac{0.5}{0.5m})^{0.5m}=\\ \lim\limits_{m\to+\infty} \quad {[(1+\frac{1}{m})^{m}]}^{0.5}=e^{0.5} n+lim(1+n0.5)n=m+lim(1+0.5m0.5)0.5m=m+lim[(1+m1)m]0.5=e0.5
那么我们知道了 e x e^x ex代表的是利率为 x x x的复利式的无穷次迭代,即每一次都在当前基础上增长 x / n x/n x/n倍,重复 n n n次( n n n趋于 + ∞ +\infty +

3. e i φ e^{i\varphi} eiφ

由上面的内容,我们知道了两点信息:

  1. i i i代表逆时针旋转 90 ° 90\degree 90°
  2. e x e^x ex代表的是利率为 x x x的复利式的无穷次迭代,即每一次都在当前基础上增长 x / n x/n x/n倍,重复 n n n次( n n n趋于 + ∞ +\infty +)。

那么 e i φ e^{i\varphi} eiφ代表的是什么呢?
e i φ e^{i\varphi} eiφ代表:原始值为 1 ⃗ \vec{1} 1 ,然后每次增长 i φ / n i\varphi/n iφ/n倍,意为在上一步向量的基础上加上 φ / n \varphi/n φ/n倍长度且逆时针旋转 90 ° 90\degree 90°的向量(假设 φ > 0 \varphi>0 φ>0),重复 n n n次( n n n趋于 + ∞ +\infty +);

接下来是如何计算这样的结果?
轻轻闭上眼睛,想象这样的画面,有一个二维坐标系,一个单纯可爱的水平向量从 0 0 0指向 1 1 1,然后垂直于向量向上,在箭头处加上一个微乎其微的小小小小的小向量,轻轻合成一下,哇,它转动了!!!然后再加一个垂直的微乎其微的小小小小的小向量,轻轻合成一下,它又转了!!!然后不断地转啊转,发现就转了一个圆,但是不管转多少次,它总有停下来的一天,哦,原来它就是单位圆里面从圆心指向边的某一点的一个向量。证毕。

要是这样证明,应该会被老师批到怀疑人生,实际上往往可以采用指数函数、三角函数的泰勒展开,进行推导, 我们此处还按照上面思考的角度以数学语言进行推导:

证明:

  1. 长度:无穷次叠加向量之后,最终合成的向量长度为
    lim ⁡ n → + ∞ ( 1 2 + φ 2 n 2 ) n 2 = 1 \lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1^2+\frac{\varphi^2}{n^2})^\frac{n}{2}=1 n+lim(12+n2φ2)2n=1
  2. 角度:每次旋转的角度近似为 φ n \frac{\varphi}{n} nφ,那么在旋转 n n n次后,旋转角度为 φ \varphi φ
  3. 即无穷次旋转之后获取到的向量为长度为 1 1 1,逆时针角度为 φ \varphi φ,这个结论与一开始的欧拉公式图是相符的,即为 e i φ = cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi eiφ=cosφ+isinφ

Matlab验证:

>> exp(sqrt(-1)*pi/7)-(cos(pi/7)+sqrt(-1)*sin(pi/7))

ans =

     0

此次欧拉公式的内容为之后要写的拉普拉斯变换做准备。
(注:不够严谨的地方望指正,谢谢)

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