严正安
严正安

一阶二阶电路时域分析结论

一阶电路

首先是电容和电感双端的伏安关系i=C\frac{dU}{dt},U=L\frac{di}{dt}

一阶RC电路的零输入响应 ，列出方程U_R=U_c => RC \frac{dU_c}{dt}+U_c=0

\mu_{c}=U_{0}e^{-\frac{t}{RC}t},\mu_{R}=U_{0}e^{-\frac{t}{RC}t},i=\frac{U_{0}}{R}e^{-\frac{t}{RC}t}

一阶RL电路的零输入响应，列出方程U_{L}+U_R=0 => L\frac{di}{dt}+Ri=0

i_L=Ae^{-\frac{Rt}{L}}，结合边界条件我们可以知道i_L=I_0e^{-\frac{Rt}{L}}

一阶RC电路的零状态响应，U_s=U_c+U_R=>U_s=U_c+RC\frac{dU_c}{dt}

这个方程由特解和通解两方面组成，U_c=Ae^{-\frac{t}{RC}}+U_s

一阶LC电路的零状态响应，我们列出方程I_s=\frac{L}{R}\frac{di}{dt}+i

我们可以解得i=I_s-I_se^{-\frac{R}{L}t} 

结合边界条件我们可以得到U_c= -U_s e^{-\frac{t}{RC}}+U_s=(1-e^{-\frac{t}{RC}})U_s

特解称为稳态分量，同时可以看出特解        与外施激励的变化规律有关，所以又可以称为强制分量，齐次方程的通解取决于特征根而与外施激励无关，所以称为自由分量

下面我们开始讨论正弦电压激励下的零状态响应

我们可以列出方程L\frac{di}{dt}+Ri=U_m cos(\omega t + \phi_{u})

首先我们可以得到通解形式i_1=Ae^{-\frac{R}{L}t}，然后我们考虑求特解，通过查表我们设出通解形式，最后我们可以解得特解i_2=\frac{U_m}{\sqrt R^2+(\omega L)^2}cos(\omega t + \phi_{u}-\varphi)，其中\varphi=arctan(\frac{\omega L}{R})

所以最后电流的表达式i=Ae^{-\frac{R}{L}t}+ \frac{U_m}{\sqrt R^2+(\omega L)^2}cos(\omega t + \phi_{u}-\varphi)，我们可以知道自由分量随着时间增长趋于0，最终只剩下强制分量，所以说这种电路需要经历一个过渡过程，然后到达稳定状态，自由分量与开关闭合的时刻有关

一阶电路的全响应，当一个非零状态的一阶电路受到激励的时候，电路得响应称为一阶电路的全响应，设电压源的电压U_s，设电容原有电压u_c=U_0,我们可以列出方程

U_s=U_R+U_C =>RC\frac{du_c}{dt}+U_c = U_s

我们首先得到通解u_{c1}=Ae^{-\frac{t}{RC}t},u_{c2}=U_s，由于初始状态的电压为U_0

我们可以得到最终表达式i=Ae^{-\frac{t}{RC}t}+U_s=(U_0-U_s)e^{-\frac{t}{RC}}+U_s=(1-e^{-\frac{t}{RC}t})U_s+U_0e^{-\frac{t}{RC}t}，可以看出上面第一项是电路的零状态响应，右边第二项是电路的零输入响应，所以我们可以得到第一个等式

全相应=零状态响应+零输入响应

我们还可以看出，右边有一项是电路微分方程的特解，其变化规律与电路施加的激励相同，所以称为强制分量，另一项对应的是微分方程的通解，它的变化规律取决于电路参数而与外界激励无关，所以称之为自由分量

在直流或者正弦交流的一阶电路中，常取换路后后达到新的稳态的解作为特解，而自由分量随着时间的增长逐渐趋近于0，所以通常将全响应看作是稳态分量和瞬态分量的叠加，即

全响应=（稳态分量）+ 瞬态分量

不管是哪一种方式和角度来思考这个问题，我们都可以发现电路的表达式总是由初始值，特解和时间常数，三个量所决定

在直流电压下，我们可以写成f(t) = f( \infty)+(f(0^{+})-f(\infty))e^{-\frac{t}{\tau}}

在正弦激励下，我们可以写成f(t)=f_1(0)+(f(0+)-f_1(0))e^{-\frac{t}{\tau}}

其中f_1(t)为稳态响应

二阶电路的零输入响应

用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。在二阶电路中，给定的初始条件应该有两个，他们由储能元件的初始值决定，RLC串联电路和GLC并联电路是最简单的二阶电路

RLC放电电路，假设电容已经充过电u_c=U_0,i_l= I_0

根据KVL列出方程-u_c+u_R+u_L=0=>u_c+CR\frac{du_c}{dt}+LC\frac{d^2u_c}{dt^2}=0

我们首先列出特征根方程LC p^2+RCp+1=0

我们解除特征根为p_{1,2}=-\frac{R}{2L}+(-)\frac{\sqrt{(RC)^2-4LC}}{2LC}

p_{1,2}=-\frac{R}{2L}+(-)\frac{\sqrt{(RC)^2-4LC}}{2LC}=-\frac{R}{2L} \pm \sqrt{(\frac{R}{2L})^2-\frac{1}{LC}}

通解的形式u_c=A_{1}e^{p_1t}+A_2e^{p2t}

p_1=-\frac{R}{2L} + \sqrt{(\frac{R}{2L})^2-\frac{1}{LC}}

p_2=-\frac{R}{2L} - \sqrt{(\frac{R}{2L})^2-\frac{1}{LC}}

由此可以看出特征根仅仅和电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关

由初始条件我们可以得到

A_1+A_2=U_0,p_1 A_1 +p_2 A_2=-\frac{I_0}{C}

为了方便表示，我们取特殊情况I_0=0

我们解得A_1=\frac{p_2U_0}{p_2-p_1},A_2=-\frac{p_1 U_0}{p_2 -p_1}

由于R,L,C参数得不同，我们可以想见分为三种情况

第一种情况，R>2\sqrt{\frac{L}{C}}，我们称之为非震荡放电过程

电感的能量\frac{1}{2}L i^2

电容得能量\frac{1}{2}Cu^2

一阶二阶电路时域分析结论_第1张图片

 t_m=\frac{ln(\frac{p_2}{p_1})}{p_1-p_2}

t<t_m,电流逐渐增大，电感线圈吸收能量，建立磁场

t>t_m，电流逐渐减小，电感线圈放出能量，磁场能量衰减

第二种情况，R<2\sqrt{\frac{L}{C}}，震荡放电过程

在这种情况下,特征根p_1,p_2是一对共轭复数

我们令\delta=\frac{R}{2L},\omega ^2=\frac{1}{LC}-(\frac{R}{2L})^2

于是有p_{1,2}=-\delta \pm j\omega

我们令\omega_0=\sqrt{\delta^2+\omega^2},\beta=arctan(\frac{\omega}{\delta})

于是我们就有\delta=\omega_0 cos(\beta),\omega=\omega_{0}sin(\beta)

所以我们有p_1=-\omega_0 e^{-j\beta},p_2=-\omega_0 e^{j\beta}

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