H无穷控制理论与应用案例分析

0.知识背景

概念、定义

• 内稳定：
• BIBO稳定：
• 镇定：对于一个控制系统来说，如果通过某种反馈可以使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。
• 信号的H2范数：
• 信号的H无穷范数：
• 系统的H2范数：
• 系统的H无穷范数：
• 传递函数(矩阵)的H2 / H无穷范数： 与系统同。
• 稳定不代表没有静态误差
• 系统中的不确定性：不确定性分为结构不确定性和参数不确定性。其中，主要包括受控对象模型和参数的不确定性、外干扰的多样性和复杂性、系统结构和参数的未知变化等。解决这类系统的稳定性和有效控制问题属于鲁棒控制问题。
• 状态反馈：状态反馈，就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数后，馈送到系统的输入端与参考输入相加，将相加和作为受控系统的输入。图5.1.1是状态反馈系统的结构图，其中图中虚线部分是状态反馈，反馈增益矩阵为K。
  
• 状态观测器：要实现状态反馈，就离不开对状态变量的测量。但是在实际系统中，并不是所有的状态变量物理上都能够直接测量得到，有些状态变量通过传感器根本无法测量。在这种情况下，就需要从系统的已知信息，如输入u和输出y，来估计这些不可测量的状态变量。这种估计状态的方法称为状态观测或状态重构，而估计状态的装置在确定性系统中称为状态观测器，简称观测器。观测器是一个物理可实现的模拟动力学系统，通过可直接测量的输入和输出信息来进行状态估计。如果原系统有n个状态变量，且这n个状态变量都需要进行估计，则观测器的维数和原系统的维数相同，这种观测器称为全维状态观测器。如果这n个状态变量中有m个状态可以通过直接测量得到，那么只需要设计n-m维观测器，来估计n一m个状态变量即可，这种观测器称为降维观测器。如果降维观测器阶数是最小的，则称该观测器为最小维观测器。
• 系统的稳定性：由经典控制理论中控制系统稳定性的概念可知，稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件，是系统本身的一种特性，一个控制系统是否稳定只和系统本身的结构和参数有关，而与输入输出信号无关。研究系统稳定性的方法很多，在经典控制理论中，应用劳斯判据和赫尔维茨判据等代数方法，来判定系统的稳定性。这些稳定性判断方法是以分析系统特征方程在s平面上根的分布为基础的，仅适用于单输入单输出的线性连续定常系统，对于多输入多输出系统，以及非线性系统和时变系统不再适用，为此需要寻求其它的稳定性判断方法。1892年，俄国数学家李雅普诺夫给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了两种判断系统稳定性的方法，即李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法，通过这两种方法可以对线性系统、非线性系统、定常系统和时变系统等进行分析。
• 李雅普诺夫稳定：李雅普诺夫第一法是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性，它的基本思路和分析方法与经典控制理论相一致。李雅普诺夫第二法则无需求解系统微分方程的解，而是通过构造李雅普诺夫函数的方法，来判定系统的稳定性。因此，李雅普诺夫第二法特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统，不特别指明，李雅普诺夫方法指的就是李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫稳定性分析理论，在现代控制理论中得到了广泛的应用，尤其是李雅普诺夫第二法，这也是本章讲述的重点。
  李雅普诺夫稳定性研究的是平衡状态邻域的稳定性，因此首先给出平衡状态的概念。
  根据系统的自由响应（零输入时）是否有界，李雅普诺夫将系统的稳定性定义为四种：1、稳定与一致稳定。2、渐进稳定。3、大范围渐进稳定。4、不稳定。而输入输出稳定指的是强迫响应的有界
  3.对李雅普诺夫函数（系统的能量函数）的简单说明
  由以上分析可以看出，李雅普诺夫函数具有以下性质：
  ①李雅普诺夫函数是一个标量函数，且为正定的，其一阶导数为（半）负定。②对于渐近稳定的系统，其李雅普诺夫函数一定存在，且不是唯一的。用李雅普诺夫第二法判稳时，只要找到一个李雅普诺夫函数即可。
  ③李雅普诺夫函数最简洁的形式是二次型标量函数V（x）=xTPx，其中P是正定实对称方阵。
  ④李雅普诺夫函数只表示平衡状态邻域内系统局部运动的稳定情况，丝毫不能提供域外运动的任何信息。
  需要注意的是：对一个实际系统而言，构造其李雅普诺夫函数的过程有时是非常困难的，需要很多技巧。因此，使用以上定理判断系统稳定性，有时使用起来很不方便，所以需要进一步给出构造李雅普诺夫函数的一般方法。
• 矩阵正定：A>0，即二次型大于零。
• 良定性：
• L2空间：能量有界的信号的集合。
• 信号2范数的平方：能量。
• 无穷范数：最大能量增益。
• 如何将新问题或不标准问题转化为标准鲁棒控制问题。
• 标准鲁棒控制问题的框图，广义对象的传递函数矩阵、动态方程阵。
• 基于MIMO的框图的画法。
• 重要关系：
  抑制干扰 –> 最小化能量增益 -> 最小化系统的无穷范数问题 小增益定理系统稳定的充要条件 鲁棒性能和鲁棒稳定性。
  
  

综述

1.频域方法

• 混合灵敏度

2.时域方法

2.1解raccati 方程(理论已经成熟)

• 状态反馈 控制：静态状态反馈增益矩阵的设计，K
• 输出反馈 控制：输出反馈补偿器的设计，K(s)
• 基于状态观测器的状态反馈控制：状态观测器的设计与静态状态反馈增益矩阵的设计

2.2解 LMI （几年来热门）

3.H无穷标准控制问题

其中：
Gp：广义被控对象
K(s)：控制器
w：扰动输入
u：控制输入
y：测量输出
z：性能输出（评价信号）
w到z的传递函数记为：F( Gp(s) , K(s) ) = z(s)/w(s)
H无穷标准控制问题是，寻找渐进稳定的K或K(s)使

最优问题 ==gama0
次优问题 标准问题 <1

在H无穷控制问题中，系统的性能指标用系统闭环传递函数矩阵的H无穷范数来表示。在状态空间描述的系统中，要想求解H无穷控制问题，就必须建立状态空间参数矩阵与传递函数矩阵的H。范数之间的关系，建立这种关系是研究时域中的H无穷控制问题的一个关键。为此，首先研究Hamiltonia 矩阵与Riccati方程之间的关系，然后研究传递阵的H无穷范数。

传递函数矩阵：范数最小（基于频域）
状态空间参数矩阵：（基于时域，状态空间，可用黎卡提，LMI,）

3.1问题的分类

• 干扰抑制问题
• 跟踪问题
• 鲁棒稳定问题

3.2分析方式

• 频域中的H无穷标准控制问题
• 时域中的H无穷标准控制问题（状态空间H无穷问题）

3.3频域中的H无穷标准控制问题

称F(Gp , K)为Gp、K的下线性分式变换（lower fractional transformation）。

3.3时域中的H无穷标准控制问题

3.4条件

注意：途中w3附近的节点的某些箭头方向标错啦！

3.5计算机辅助设计

matlab工具箱、函数
Hinf hinfopt hinfsyn hinfric hinflmi mixsyn mksys branch ltisys ss ssdata
MATLAB鲁棒控制工具箱
Matlab提供了很多H无穷设计函数，与H无穷设计相关的几个重要的工具箱有：
Control System Toolbox；
mu-Analysis and Synthesis Toolbox（mu-tools）；
Robust Control Toolbox（RCT）；
LMI Control Toolbox。
Matlab7.0之后的版本中，LMI和mu-tools都包含在RCTv3.0.1中，Matlab7.0之前的版本中这些工具箱是独立的。

工具箱函数
Control System Toolbox： ss tf zpk
Mu-tools : pck，nd2sys，zp2sys mksys和tree
Mu-tools提供了一种与Control System Toolbox 不一样的表达方式：系统矩阵（system matrix）。Control System Toolbox里面可以写成Gcst=ss（A，B，C，D），对mu-tools则不适用。

G 的实现
也可以用mksys和tree等方法。需要注意的是，Mu-tools提供了一种与Control System Toolbox 不一样的表达方式：系统矩阵（system matrix）。Control System Toolbox 里面可以写成Gcst=ss（A，B，C，D），对mu-tools则不适用。
Mt-toos:[A，B，C，D]=ssdata（Gcst）；Gmu=pck（A，B，C，D）.
[A，B，C，D]=unpck（Gmu）；Gcst=ss（A，B，C，D）.
P的实现

3.6经典文献

DGKF
LMI

3.7 疑问

什么时候才能用状态反馈？什么情况下用输出反馈而用不了状态反馈？？

在dx=Ax+Bu中
Y=Cx+Du，一般D为0，如何取C的值已确保每一个yi都能同时镇定？能同时镇定所有yi的条件是什么？？
因此，在直升机省偏子系统中x=[w, psi, r , a0, a1, b1 ]，将意味着不能将psi和r同时作为输出，因为没有任何一个控制器能同时镇定psi和r，可能的原因是他们是积分的关系，具体C应该怎么取值能让所有yi同时镇定，条件是？？？？？？？？？？？？

控制器的位置为何选择1、3 而不选择2或2、3 ？？？？？？？

4.应用

4.1混合灵敏度问题

4.2 干扰抑制问题

4.3 跟踪问题

举个栗子：

4.4鲁棒稳定问题

5.求解

6.补充