深度学习：维度灾难（Curse Of Dimensionality）

维度灾难的几何意义

假设有一个正方形，边长为1，那么面积为1 * 1。
正方形的内接圆的边长为0.5，面积为： pai * r *r。
假设一个正方体，边长为1,那么它的体积为 1 * 1 * 1。
正方体的内接球的半径为 3/4 * pai * r * r * r
按照这个规律，我们把维度拓展的 正方形为2维，正方体为3维，按照这个规律，我们把维度拓展到 n维。
此时 n维度 几何体的体积 就是n个1相乘，结果还是1.
然后 n维度 几何球体的体积就截然不同，设常数为K，体积则是：
$$K\ast r^n$$
因为r是小1的，所以几何球体当维度拓展到n维后，它的体积会逐渐趋近于0.

在这里我们来讨论一下如何理解体积，假设我们一个球体的体积=5，它们的总质量m是不会随着维度的升高而变化的，我们就说这个球体每单位体积中有5个数据。

当维度升高时，r=0.5,所以当维度达到足够高时，内接球体的体积会接近于0，也就是说球体的没单位体积内机会就没有数据，然而外接正方体的体积始终=1，也就是球内的数据随着维度的增加没有消失，都聚集在正方体的表面。这个定理源于各点距单位球中心距离的中间值计算公式：

这种情况下，一些度量相异性的距离指标（如：欧式距离）效果会大大折扣，从而导致一些基于这些指标的分类器在高维度的时候表现不好。

在此时，我们计算每个点

补充说明 （r 如果大于1）

我们在很多文章中可能都会看到这个例子，但是你有没有思考过，如果r>1，那么无论他的体积增大多少维度，他也不会缩小了，上面的那个理论不久作废了吗？
这里我给出两个解释：

1. 我们平时做machine learning 项目的时候，一般数据都是会做归一化的，所以会控制在1以内。
2. 假设r=2，那么正方体边长就是4，我们把维度升高的10维，高纬正方体的体积就是10个4相乘=4194304，而内接球体则是一个常数K乘10个2相乘，也就是2048 * K，它们在3维的体积相差不大，随着维度的升高，它们差距在不断增大，也可近似相对认为几何球体内没有数据。

维度灾难于过拟合的关系

假设在地球上有无数只猫和狗，但由于种种原因，我们总共只有10张描述猫狗的图片。我们的最终目的是利用这10张图片训练出一个很牛的分类器，它能准确的识别我们没见过的各种无数的猫、狗。
我们首先用一维特征（比如体重）：

从图中我们可以在坐标轴中找到一个点来作为分类的基准点，左边是狗，右边是猫。但是我们发现这样的分类效果并不好，于是我们在增加1个特征（身高）：

在这里我们也并不能找到一个很好的分隔线把他们分开，于是把特征拓展到三维：

到了现在，就可以找到一个很好的平面把他们分开。
那么是不是我们就可以按照这个规律不断提升特征的维度呢，分类的效果就会越来越好呢？
结果显然是不可行的，在维度提升的同时，很容易就可以找到一个看似完美的超平面来分割数据：

但是数据量要随着维度的增加而增加，数据本身就是有噪声的，在数据不足的时候，结果就是分类器学习到了很多数据集中的特例，因此对于现实数据往往会效果较差，因为现实数据是没有这些噪声以及异常特性的。就像上图，把分类结果映射到底维，这种现象也就是我们熟知的过拟合。

缓解方法

1. 增加数据
2. L1\L2正则
3. DropOut
4. 降维