概率密度变换公式 雅可比矩阵_雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用...

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雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密

度中的应用

作者：赵微

来源：《新教育时代》

2014

年第

12

期

摘

要：为了使二维随机变量函数概率密度计算公式得到简化，本文首先利用雅克比行列

式，应用变量变换定理给出了二维随机变量函数概率密度的计算公式。但变量变换定理要求反

函数存在且唯一，为克服这一缺陷，文中给出了两种方法对变量变换定理进行改进。

关键词：二维随机变量函数

概率密度

雅克比行列式

变量变换定理

一、分布函数法

用分布函数法求随机变量是概率论的重要内容之一。通常情况下求一维随机变量的函数的

概率密度有分布函数法和公式法。但对于二维随机变量，一般思路是先按定义求分布函数，然

后再对分布函数求导，从而得到概率密度。

设(

X

，

Y

)为二维连续型随机变量，密度函数为

f

(

x

，

y

)，函数

g

(

x

，

y

)是一个连续

函数，

Z

是随机变量，有

Z=g

(

X

，

Y

)。一般地，若无特殊说明，总认为

z=g

(

x

，

y

)在点

(

x

，

y

)处连续可微，且

z

关于

x

和

y

的偏导数均不为

0

。则从分布函数的定义出发进行计

算，先求出分布函数

对分布函数求导，可得到

Z

的密度函数

fz

(

Z

)

=Fz

(

Z

)。

由于在计算过程中要在

XOY

平面上确定区域

与区域

的公共部分，且计算二重积分要根据曲线

z=g

(

x

，

y

)与

D

的相对位置，分多种情况讨论

后，最后求导。因此，在理论上，对二维连续型随机变量

，虽然可以用分布函数法求得

的密

度函数，但该方法计算量大，并且当

U

是分段函数时，计算过程较为繁琐。

二、变量变换法

为解决分布函数法计算复杂的问题，下面利用雅克比行列式，通过积分变换给出二维随机

变量函数的概率密度的新计算公式。

定理

1

设(

X

，

Y

)为二维随机变量的概率密度为

f

(

x

，

y

)，若函数

u=g

(

x

，

y

)，

满足

下列条件：

(

i

)存在唯一的反函数

，

；