浅述雅可比矩阵（jacobi matrix）与雅克比行列式（Jacobian ）（写给自己和菜鸟看的）

0.菜鸟预知识

0.1矩阵

定义：
由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：
基本运算：

• 加法：

  • 

• 减法：

  • 

• 数乘：

• 转置：

• 共轭：

• 共轭转置：

0.2矩阵乘法

两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义：

如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵 ，它的一个元素：例：

0.3矩阵行列式

一个n×n的正方矩阵A的行列式记为det(A)或者|A| ,一个2×2矩阵的行列式可表示如下:一个n×n矩阵的行列式等于其任意行（或列）的元素与对应的代数余子式乘积之和，即：

0.4 雅克比矩阵、雅克比行列式

在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵：

符号表示为：

• 根据反函数定理，一个可逆函数（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的反函数的雅可比矩阵。
• 如果这个矩阵为方阵，那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式

0.5切空间

切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。

0.6 欧式空间和非欧式空间

1.欧式空间：

• 欧几里得几何就是中学学的平面几何、立体几何，在欧几里得几何中，平行线任何位置的间距相等。

• 欧几里得空间就是在对现实空间的规则抽象和推广（从n<=3推广到有限n维空间）。

• 中学学的几何空间一般是2维，3维（所以，我们讨论余弦值、点间的距离、内积都是在低纬空间总结的），如果将这些低维空间所总结的规律推广到有限的n维空间，那这些符合定义的空间则被统称为欧几里得空间（欧式空间，Euclidean
  Space）

2.关于非欧式空间：
非欧几何，爱因斯坦曾经形象地说明过：

假定存在一种二维扁平智能生物，但它们不是生活在绝对的平面上，而是生活在一个球面上，那么，当它们在小范围研究圆周率的时候，会跟我们一样发现圆周率是3.14159……可是，如果它们画一个很大的圆，去测量圆的周长和半径，就会发现周长小于2πr，圆越大，周长比2πr小得越多，为了能够适用于大范围的研究，它们就必须修正它们的几何方法。如果空间有四维，而我们生活在三维空间中，而这个三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲，我们的几何就会象那个球面上的扁平智能生物一样，感受不到第四维的存在，但我们的几何必须进行修正，这就是非欧几何。在非欧几何中，平行的直线只在局部平行，就象地球的经线只在赤道上平行。

• 闵可夫斯基空间属于欧几里得几何的扩展，它是把时间也作为一个维度进行量化，再添加光速系数，跟洛伦兹变换一样，使得不同惯性系中的运动问题计算得以简化。

1.理解

可以从导数的角度理解雅克比矩阵：

• ①导数作为切空间上的线性映射（也就是说切空间的切向量可以由方向导数求得），可以选择适当的基底，表示切空间上点的坐标。
• ②给出坐标基底后，线性的映射就都有了确切的坐标，那么线性映射就变成了一个实例化的矩阵。
• ③在欧式空间中，这个矩阵就是雅克比矩阵。
• ④当矩阵的行数和列数相等（也就是说函数的输入量和输出量等体量），此时为方阵，也就是雅克比行列式（Jacobian ）。

2.雅克比矩阵的几何意义

一个词概括就是放大率

• 换个词，就是说缩放因子

一句话概括就是n维空间，某点的邻域经过这个映射之后，测度与原来的比

• 换句话说，就是原局部展成了新的线性变换，这个线性变换对原n维体积的改变比例。

2.1二维情况下一个直观的栗子

在二维情况，雅可比行列式代表xy平面上的面积微元与uv平面上的面积微元的比值。


因此有二重积分换元：

3.机器人学中的应用

待填坑

reference：

• https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/39762178
• https://www.zhihu.com/question/27903807?sort=created
• https://blog.csdn.net/linkequa/article/details/87311456?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-5.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-5.nonecase
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