超强换元法,二重积分计算的利器(雅可比行列式超通俗讲解)

二重积分计算是个老大难,有的题目计算过程极其复杂,直角坐标和极坐标换元已不足以应对“复杂路况”,这个时候怎么办?整上一手超强换元法,出奇制胜,本文带你一窥究竟。
首先来回顾下定积分的换元过程:
I = ∫ a b f ( x ) d x I=\int_{a}^{b}f(x)dx I=abf(x)dx ,令 x = g ( t ) x=g(t) x=g(t) ,则: I = ∫ g − 1 ( a ) g − 1 ( b ) f ( g ( t ) ) d g ( t ) I=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(t))dg(t) I=g1(a)g1(b)f(g(t))dg(t)
最终为: I = ∫ g − 1 ( a ) g − 1 ( b ) f ( g ( t ) ) g ′ ( t ) d t I=\int_{g^{-1}\left( a \right)}^{g^{-1}\left( b \right)}f(g\left( t \right))g'\left( t \right)dt I=g1(a)g1(b)f(g(t))g(t)dt

可见换元要换三个东西(重点提示):
​1.积分上下限;
2.被积函数;
3.积分变量

所以我们类比到二重积分的换元过程:
I = ∫ c d ∫ a b f ( x , y ) d x d y I=\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}f(x,y)dxdy I=cdabf(x,y)dxdy ,令 x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) x=x(u,v),y=y(u,v) x=x(u,v)y=y(u,v) ,换元之后为:
I = ∫ g h ∫ e f f ( x ( u , v ) , y ( u , v ) ) d x ( u , v ) d y ( u , v ) I=\int_{g}^{h}\int_{e}^{f}f(x(u,v),y(u,v))dx(u,v)dy(u,v) I=gheff(x(u,v),y(u,v))dx(u,v)dy(u,v)
可见,积分上下限和被积函数好表示(积分上下限通过画图可以表示出来,被积函数直接带入表达式即可)。所以关键的难点就落到了 d x ( u , v ) d y ( u , v ) dx(u,v)dy(u,v) dx(u,v)dy(u,v) 如何表达成 d u d v dudv dudv 上面,而这即是找它们之间的关系,怎么找?这就涉及到了雅可比行列式。

什么是雅可比行列式:

首先我们知道, d x d y dxdy dxdy d u d v dudv dudv 都表示微元面积,所以我们要找它们之间的关系,无非就是找换元前后微元面积的关系。
超强换元法,二重积分计算的利器(雅可比行列式超通俗讲解)_第1张图片p.s.换元后微元边界不一定是直的,但是由于其很小,所以可以“以直代曲”

为了更清楚的了解换元前后微元面积的关系,我们取出左下角坐标为 ( u 0 , v 0 u_{0},v_{0} u0,v0) 的一个微元和与其对应的微元一起放大,如下图:
超强换元法,二重积分计算的利器(雅可比行列式超通俗讲解)_第2张图片

由于我们经过了 x = x ( u , v ) , y = y ( u , v ) x=x(u,v),y=y(u,v) x=x(u,v)y=y(u,v) 这个换元。所以坐标系中的点 ( u 0 , v 0 u_{0},v_{0} u0v0) 就变成另一个坐标系里面的 ( x ( u 0 , v 0 ) , y ( u 0 , v 0 ) ) (x(u_{0},v_{0}),y(u_{0},v_{0})) (x(u0,v0),y(u0,v0)) ,其他的点类似。于是就得到了上图右边微元的坐标。
接下来就可以求它们的面积了,根据平行四边形面积公式: s = ∣ a ∣ ∣ b ∣ ∣ s i n θ ∣ = ∣ a × b ∣ s=|a||b||sin\theta|=|a\times b| s=absinθ=a×b ,所以有:
d A = ∣ u × v ∣ = d u d v , d A 1 = ∣ l × m ∣ dA=|u\times v|=dudv , dA_{1}=|l\times m| dA=u×v=dudv,dA1=l×m
其中 l = ( x ( u 0 , v 0 + d v ) − x ( u 0 , v 0 ) , y ( u 0 , v 0 + d v ) − y ( u 0 , v 0 ) ) l=\left( x(u_{0},v_{0}+dv)-x(u_{0},v_{0}),y(u_{0},v_{0}+dv)-y(u_{0},v_{0}) \right) l=(x(u0,v0+dv)x(u0,v0),y(u0,v0+dv)y(u0,v0))

m = ( x ( u 0 + d u , v 0 ) − x ( u 0 , v 0 ) , y ( u 0 + d u , v 0 ) − y ( u 0 , v 0 ) ) m=\left( x(u_{0}+du,v_{0})-x(u_{0},v_{0}),y(u_{0}+du,v_{0})-y(u_{0},v_{0}) \right) m=(x(u0+du,v0)x(u0,v0),y(u0+du,v0)y(u0,v0))
由多元微分学知识:
x ( u + d u , v + d v ) − x ( u , v ) = x u ′ d u + x v ′ d v x(u+du,v+dv)-x(u,v)=x'_{u}du+x'_{v}dv x(u+du,v+dv)x(u,v)=xudu+xvdv
y ( u + d u , v + d v ) − y ( u , v ) = y u ′ d u + y v ′ d v y(u+du,v+dv)-y(u,v)=y'_{u}du+y'_{v}dv y(u+du,v+dv)y(u,v)=yudu+yvdv
所以此时: l = ( x v ′ d v , y v ′ d v ) , m = ( x u ′ d u , y u ′ d u ) l=(x'_{v}dv,y'_{v}dv) , m=(x'_{u}du,y'_{u}du) l=(xvdv,yvdv),m=(xudu,yudu)
d A 1 = ∣ ( x v ′ d v , y v ′ d v ) × ( x u ′ d u , y u ′ d u ) ∣ = ∣ x v ′ y u ′ − y v ′ x u ′ ∣ d u d v dA_{1}=|(x'_{v}dv,y'_{v}dv)\times (x'_{u}du,y'_{u}du)|=|x'_{v}y'_{u}-y'_{v}x'_{u}|dudv dA1=(xvdv,yvdv)×(xudu,yudu)=xvyuyvxududv
d A 1 = ∣ x v ′ y u ′ − y v ′ x u ′ ∣ d A dA_{1}=|x'_{v}y'_{u}-y'_{v}x'_{u}|dA dA1=xvyuyvxudA ,这个就是微元面积之间的关系。
此时设 J = ∣ x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ ∣ J= {\begin{vmatrix} x'_{u}&x'_{v}\\ y'_{u}&y'_{v} \end{vmatrix}} J=xuyuxvyv ,那么 d A 1 = ∣ J ∣ d A dA_{1}=|J|dA dA1=JdA ,而这个 J 就是雅可比行列式。
可见雅可比行列式的绝对值就是换元前后微元面积的比值。
所以就有: d x d y = ∣ J ∣ d u d v dxdy=|J|dudv dxdy=Jdudv
接下来,我们用熟悉的极坐标举例子:
x = r c o s θ , y = r s i n θ d x d y = d ( r c o s θ ) d ( r s i n θ ) J = ∣ x r ′ x θ ′ y r ′ y θ ′ ∣ = ∣ c o s θ − r s i n θ s i n θ r c o s θ ∣ = r c o s 2 ( θ ) + r s i n 2 ( θ ) = r d x d y = ∣ J ∣ d ( r ) d ( θ ) = r d ( r ) d ( θ ) x=rcos\theta,y=rsin\theta dxdy=d(rcos\theta)d(rsin\theta) J={\begin{vmatrix} x'_{r}&x'_{\theta}\\ y'_{r}&y'_{\theta} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix} cos\theta&-rsin\theta\\ sin\theta&rcos\theta \end{vmatrix}}=rcos^{2}(\theta)+rsin^{2}(\theta)=r dxdy=|J|d(r)d(\theta)=rd(r)d(\theta) x=rcosθ,y=rsinθdxdy=d(rcosθ)d(rsinθ)J=xryrxθyθ=cosθsinθrsinθrcosθ=rcos2(θ)+rsin2(θ)=rdxdy=Jd(r)d(θ)=rd(r)d(θ)
超强换元法,二重积分计算的利器(雅可比行列式超通俗讲解)_第3张图片

可见,极坐标换元仍然属于本文超强换元法的一种。接下来再来讲几道例题。

例题讲解:

例题一:
计算 ∫ ∫ D e y − x y + x d x d y ∫∫_{D}e^{\frac{y-x}{y+x}}dxdy Dey+xyxdxdy ,其中D由 x 轴, y 轴,和直线 x + y = 2 x+y=2 x+y=2 所围成的闭区域。
解:令 u = y − x , v = y + x u=y-x , v=y+x u=yxv=y+x ,则 x = v − u 2 , y = v + u 2 x=\frac{v-u}{2} , y=\frac{v+u}{2} x=2vuy=2v+u .
D → D ′ D\rightarrow D' DD ,即 x = 0 → u = v y = 0 → u = − v x + y = 2 → v = 2 x=0\rightarrow u=v\\y=0\rightarrow u=-v\\x+y=2\rightarrow v=2 x=0u=vy=0u=vx+y=2v=2
超强换元法,二重积分计算的利器(雅可比行列式超通俗讲解)_第4张图片
所以有雅可比行列式: J = ∣ x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ ∣ = ∣ − 1 2 1 2 1 2 1 2 ∣ = − 1 2 J=\begin{vmatrix} x_{u}^{'}&x_{v}^{'}\\ y_{u}^{'}&y_{v}^{'} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{vmatrix}=-\frac{1}{2} J=xuyuxvyv=21212121=21
∫ ∫ D e y − x y + x d x d y = ∫ ∫ D ′ e u v ∣ J ∣ d u d v = ∫ ∫ D ′ e u v ∣ − 1 2 ∣ d u d v ∫∫_{D}e^{\frac{y-x}{y+x}}dxdy=∫∫_{D'}e^{\frac{u}{v}}|J|dudv=∫∫_{D'}e^{\frac{u}{v}}\left| -\frac{1}{2} \right|dudv Dey+xyxdxdy=DevuJdudv=Devu21dudv
所以原积分为: 1 2 ∫ ∫ D ′ e u v d u d v = 1 2 ∫ 0 2 d v ∫ − v v e u v d u = 1 2 ∫ 0 2 ( e − e − 1 ) v d v = e − e − 1 \frac{1}{2} ∫∫_{D'}e^{\frac{u}{v}}dudv=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}dv\int_{-v}^{v}e^{\frac{u}{v}}du=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(e-e^{-1})vdv=e-e^{-1} 21Devududv=2102dvvvevudu=2102(ee1)vdv=ee1

例题二:
求椭圆 2 x 2 + 4 x y + 5 y 2 = 1 2x^{2}+4xy+5y^{2}=1 2x2+4xy+5y2=1 的面积
面对这道题,其实做法很多。
1.求椭圆上距离原点最大和最小值,即长半轴长和短半轴长,再用椭圆面积公式解决。
2.利用正交变换把图形变正,继而直接得到长短轴长,再用椭圆面积公式解决。

这里我采用二重积分来做:
面积表达式: S = ∫ ∫ D 1 d x d y S=∫∫_{D}1dxdy S=D1dxdy ,积分区域 D : 2 x 2 + 4 x y + 5 y 2 = 1 D: 2x^{2}+4xy+5y^{2}=1 D2x2+4xy+5y2=1围成的区域
由于D无法分离出x和y,故无法继续往下做,这时候想办法对表达式进行换元,如何换?先配方看看。

配方过程:
2 ( x 2 + 2 x y + y 2 ) + 3 y 2 = 1 ⇒ 2 ( x + y ) 2 + 3 y 2 = 1 ⇒ [ 2 ( x + y ) ] 2 + ( 3 y ) 2 = 1 2(x^{2}+2xy+y^{2})+3y^{2}=1 \Rightarrow2(x+y)^{2}+3y^{2}=1\Rightarrow [\sqrt{2}(x+y)]^{2}+(\sqrt{3}y)^{2}=1 2(x2+2xy+y2)+3y2=12(x+y)2+3y2=1[2 (x+y)]2+(3 y)2=1
于是我就知道如何换元了: 令: 2 ( x + y ) = u , 3 y = v \sqrt{2}(x+y)=u , \sqrt{3}y=v 2 (x+y)=u3 y=v ;即:
x = u 2 − v 3 , y = 1 3 v x=\frac{u}{\sqrt{2}}-\frac{v}{\sqrt{3}} , y=\frac{1}{\sqrt{3}}v x=2 u3 vy=3 1v
所以原式变为: u 2 + v 2 = 1 u^{2}+v^{2}=1 u2+v2=1 ,即积分区域变成了 D ′ : u 2 + v 2 = 1 D' : u^{2}+v^{2}=1 D:u2+v2=1
超强换元法,二重积分计算的利器(雅可比行列式超通俗讲解)_第5张图片
先求雅可比行列式:
J = ∣ x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ ∣ = ∣ 1 2 − 1 3 0 1 3 ∣ = 1 6 J={\begin{vmatrix} x'_{u}&x'_{v}\\ y'_{u}&y'_{v} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}}\end{vmatrix}}=\frac{1}{\sqrt{6}} J=xuyuxvyv=2 103 13 1=6 1
再求积分:
S = ∫ ∫ D ’ 1 ⋅ ∣ J ∣ d u d v S=∫∫_{D’}1\cdot |J|dudv S=D1Jdudv
S = 1 6 ∫ ∫ D ’ d u d v S=\frac{1}{\sqrt{6}}∫∫_{D’}dudv S=6 1Ddudv ,而 ∫ ∫ D ’ d u d v ∫∫_{D’}dudv Ddudv 等于 D’ 区域的面积,所以:
S = 1 6 ⋅ π 1 2 = π 6 S= \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \pi 1^{2}=\frac{\pi}{\sqrt{6}} S=6 1π12=6 π
启示:可见除了正交变换外,配方法也可以用于求图形面积,与正交变换不同的是,其会改变图形的形状和大小,但是可以通过雅可比行列式进行数值矫正,从而殊途同归。

到此结束~
我是煜神学长,考研我们一起加油!

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