超强换元法，二重积分计算的利器（雅可比行列式超通俗讲解）

二重积分计算是个老大难，有的题目计算过程极其复杂，直角坐标和极坐标换元已不足以应对“复杂路况”，这个时候怎么办？整上一手超强换元法，出奇制胜，本文带你一窥究竟。
首先来回顾下定积分的换元过程：
$I={\int }_a^{b}f(x)dx$ ，令 $x=g(t)$ ，则： $I={\int }_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(t))dg(t)$
最终为：$I={\int }_{g^{-1}\left(a\right)}^{g^{-1}\left(b\right)}f(g\left(t\right))g^{\prime }\left(t\right)dt$

可见换元要换三个东西（重点提示）：
​1.积分上下限；
2.被积函数；
3.积分变量

所以我们类比到二重积分的换元过程：
$I={\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy$ ，令 $x=x(u,v)，y=y(u,v)$ ,换元之后为：
$I={\int }_g^h{\int }_e^{f}f(x(u,v),y(u,v))dx(u,v)dy(u,v)$
可见，积分上下限和被积函数好表示（积分上下限通过画图可以表示出来，被积函数直接带入表达式即可）。所以关键的难点就落到了 $dx(u,v)dy(u,v)$ 如何表达成 $dudv$ 上面，而这即是找它们之间的关系，怎么找？这就涉及到了雅可比行列式。

什么是雅可比行列式：

首先我们知道， $dxdy$ 与 $dudv$ 都表示微元面积，所以我们要找它们之间的关系，无非就是找换元前后微元面积的关系。
p.s.换元后微元边界不一定是直的，但是由于其很小，所以可以“以直代曲”

为了更清楚的了解换元前后微元面积的关系，我们取出左下角坐标为 ($u_0,v_0$) 的一个微元和与其对应的微元一起放大，如下图：

由于我们经过了 $x=x(u,v)，y=y(u,v)$ 这个换元。所以坐标系中的点 ($u_0，v_0$) 就变成另一个坐标系里面的 $(x(u_0,v_0),y(u_0,v_0))$ ，其他的点类似。于是就得到了上图右边微元的坐标。
接下来就可以求它们的面积了，根据平行四边形面积公式： $s=|a||b||sin\theta |=|a\times b|$ ，所以有：
$dA=|u\times v|=dudv,d{A}_1=|l\times m|$
其中 $l=\left(x(u_0,v_0+dv)-x(u_0,v_0),y(u_0,v_0+dv)-y(u_0,v_0)\right)$

$m=\left(x(u_0+du,v_0)-x(u_0,v_0),y(u_0+du,v_0)-y(u_0,v_0)\right)$
由多元微分学知识：
$x(u+du,v+dv)-x(u,v)=x_u^{\prime }du+x_v^{\prime }dv$
$y(u+du,v+dv)-y(u,v)=y_u^{\prime }du+y_v^{\prime }dv$
所以此时： $l=(x_v^{\prime }dv,y_v^{\prime }dv),m=(x_u^{\prime }du,y_u^{\prime }du)$
故 $d{A}_1=|(x_v^{\prime }dv,y_v^{\prime }dv)\times (x_u^{\prime }du,y_u^{\prime }du)|=|x_v^{\prime }{y}_u^{\prime }-y_v^{\prime }{x}_u^{\prime }|dudv$
即 $d{A}_1=|x_v^{\prime }{y}_u^{\prime }-y_v^{\prime }{x}_u^{\prime }|dA$ ，这个就是微元面积之间的关系。
此时设$J=\left|\begin{array}{cc}{x}_u^{\prime }& x_v^{\prime }\\ y_u^{\prime }& y_v^{\prime }\end{array}\right|$ ，那么 $d{A}_1=|J|dA$ ，而这个 J 就是雅可比行列式。
可见雅可比行列式的绝对值就是换元前后微元面积的比值。
所以就有：$dxdy=|J|dudv$ 。
接下来，我们用熟悉的极坐标举例子：
$x=rcos\theta ,y=rsin\theta dxdy=d(rcos\theta )d(rsin\theta )J=\left|\begin{array}{cc}{x}_r^{\prime }& x_{\theta }^{\prime }\\ y_r^{\prime }& y_{\theta }^{\prime }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}cos\theta & -rsin\theta \\ sin\theta & rcos\theta \end{array}\right|=rco{s}^2(\theta )+rsi{n}^2(\theta )=rdxdy=|J|d(r)d(\theta )=rd(r)d(\theta )$

可见，极坐标换元仍然属于本文超强换元法的一种。接下来再来讲几道例题。

例题讲解：

例题一：
计算 $\int {\int }_D{e}^{\frac{y-x}{y+x}}dxdy$ ，其中D由 x 轴， y 轴，和直线 $x+y=2$ 所围成的闭区域。
解：令 $u=y-x，v=y+x$ ，则 $x=\frac{v-u}{2}，y=\frac{v+u}{2}$ .
$D\to D^{\prime }$ ，即 $$\begin{gathered} x=0\to u=v \\ y=0\to u=-v \\ x+y=2\to v=2 \end{gathered}$$

所以有雅可比行列式： $J=\left|\begin{array}{cc}{x}_u^{{}^{\prime }}& x_v^{{}^{\prime }}\\ y_u^{{}^{\prime }}& y_v^{{}^{\prime }}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right|=-\frac{1}{2}$
$\int {\int }_D{e}^{\frac{y-x}{y+x}}dxdy=\int {\int }_{D^{\prime }}{e}^{\frac{u}{v}}|J|dudv=\int {\int }_{D^{\prime }}{e}^{\frac{u}{v}}\left|-\frac{1}{2}\right|dudv$
所以原积分为： $\frac{1}{2}\int {\int }_{D^{\prime }}{e}^{\frac{u}{v}}dudv=\frac{1}{2}{\int }_0^{2}dv{\int }_{-v}^v{e}^{\frac{u}{v}}du=\frac{1}{2}{\int }_0^2(e-e^{-1})vdv=e-e^{-1}$

例题二：
求椭圆 $2x^2+4xy+5y^2=1$ 的面积
面对这道题，其实做法很多。
1.求椭圆上距离原点最大和最小值，即长半轴长和短半轴长，再用椭圆面积公式解决。
2.利用正交变换把图形变正，继而直接得到长短轴长，再用椭圆面积公式解决。

这里我采用二重积分来做：
面积表达式： $S=\int {\int }_{D}1dxdy$ ，积分区域$D：2x^2+4xy+5y^2=1$围成的区域
由于D无法分离出x和y，故无法继续往下做，这时候想办法对表达式进行换元，如何换？先配方看看。

配方过程：
$2(x^2+2xy+y^2)+3y^2=1\Rightarrow 2(x+y{)}^2+3y^2=1\Rightarrow [\sqrt{2}(x+y){]}^2+(\sqrt{3}y{)}^2=1$
于是我就知道如何换元了： 令： $\sqrt{2}(x+y)=u，\sqrt{3}y=v$ ；即：
$x=\frac{u}{\sqrt{2}}-\frac{v}{\sqrt{3}}，y=\frac{1}{\sqrt{3}}v$
所以原式变为： $u^2+v^2=1$ ，即积分区域变成了 $D^{\prime }:u^2+v^2=1$

先求雅可比行列式：
$J=\left|\begin{array}{cc}{x}_u^{\prime }& x_v^{\prime }\\ y_u^{\prime }& y_v^{\prime }\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right|=\frac{1}{\sqrt{6}}$
再求积分：
$S=\int {\int }_{D’}1\cdot |J|dudv$
$S=\frac{1}{\sqrt{6}}\int {\int }_{D’}dudv$ ，而 $\int {\int }_{D’}dudv$ 等于 D’ 区域的面积，所以：
$S=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \pi 1^2=\frac{\pi }{\sqrt{6}}$
启示：可见除了正交变换外，配方法也可以用于求图形面积，与正交变换不同的是，其会改变图形的形状和大小，但是可以通过雅可比行列式进行数值矫正，从而殊途同归。

到此结束~
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