【C语言简单实现数据结构】时间复杂度和空间复杂度

【C语言实现简单数据结构】时间复杂度和空间复杂度

心有所向，日复一日，必有精进

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前言

C语言入门已经完结，接下来就是实现C语言实现简单数据结构，徐徐图之，日复一日，必有精进。

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数据结构与算法

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的
数据元素的集合。

数据结构包括逻辑结构和存储结构

====数据结构和数据库有什么区别？

数据结构：是在计算机存储、组织数据的方式，在内存中管理数据；
数据库：在磁盘中管理数据；

算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，他取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。
一个算法要满足：有穷性，确定性，可行性，输入、输出；
评判一个算法：正确性、可读性、健壮性、高效性；

简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

数据结构非常重要！
数据结构非常重要！
数据结构非常重要！
重要的事情说三遍!

如何学好数据结构呢？

学成图片的样子，也就成大牛了；

练习，画图思考，刷题，冲鸭！

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算法效率

1.1如何衡量一个算法的好坏

代码少？

long long Fib(int N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

这少吧，但是他的效率一言难尽；

1.2算法复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

时间复杂度

2.1 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.2计算时间复杂度

示例一：

   // 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
printf("%d\n", count);
}

时间复杂度
推到出来的执行次数是2N+10;通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为

示例二：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++ k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count）；
}

时间复杂度
推到出来的执行次数是M+N；有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)；
当然如果我们知道如果：

• M大比N大的不能在大了，O(M);
• N大比M大的不能在大了，O(N);
• M和N差不多，O(M)/O(N);

示例三

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}

时间复杂度
推到出来的执行次数是100；通过推导大O阶方法知道，用常数1取代运行时间中的所有加法常数时间复杂度为 O(1)；

我好想明白了，数循环就好了！，但是数循环会有大问题；

示例四

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
	int exchange = 0;
	for (size_t i = 1; i < end; ++i)
	{
		if (a[i-1] > a[i])
		{
			Swap(&a[i-1], &a[i]);
			exchange = 1;
		}
	}
	if (exchange == 0)
	break;
	}
}

时间复杂度
推到出来最坏执行了(N*(N+1)/2次，通过推导大O阶方法+时间复杂度一般看最坏，时间复杂度为 O(N^2)
如果我们数循环就容易犯错，这是冒泡排序，我们知道了冒泡排序的思想后就明白了。
所以要看底层逻辑；

示例五

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n-1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end-begin)>>1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid+1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid-1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

时间复杂度
基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN) ps：logN在算法分析中表示是底数为2，对数为N。有些地方会写成lgN。（建议通过折半查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）
这是二分的一种思想，我们查找的时候，必须是一个有序的前提进行，所以通过大小比较每次都能锁定范围，每次缩小一半，当这个范围左右交错意味着没有找到，
我们每次查找，缩小一半，到最后只剩1次
：N/2/2/2……2,1
设我们查找了X次，所以 N/2^x=1

示例五

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if(0 == N)
	return 1;
	return Fac(N-1)*N;
}

时间复杂度
推到出来计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)；

示例六

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

时间复杂度
斐波那契数列的这种递归方式可以看成二叉树的遍历，
这样就可以看做一个等比数列，这样就递归了2 ^ n
所以时间复杂度O(2 ^ N);

空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。
空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

3.1计算空间复杂度

实例1

 // 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
	int exchange = 0;
	for (size_t i = 1; i < end; ++i)
	{
		if (a[i-1] > a[i])
		{
			Swap(&a[i-1], &a[i]);
			exchange = 1;
		}
	}
	if (exchange == 0)
		break;
	}
}

实例2

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if(n==0)
	return NULL;
	long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
	}
	return fibArray;
}

实例3

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}

1. 实例1使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
2. 实例2动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
3. 实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

3.2常见复杂度对比

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