【数据结构与算法】时间复杂度和空间复杂度计算
目录
前言
一、时间复杂度和空间复杂度是什么？
1.算法效率
2.时间复杂度
3.空间复杂度的概念
4.大O的渐进表示法
二、如何计算
1.计算常见的时间复杂度
1.例1
2.例2
3.例3
4.例4
5.例5
6.例6
7.例7
8.例8
9.复杂度大小对比表
2.计算常见的空间复杂度
1.例1
2.例2
3.例3
总结
前言
在做leetcode的相关题目时看到了时间复杂度和空间复杂度的要求，经了解这是数据结构中的内容，于是决定边用空余时间学下数据结构。
一、时间复杂度和空间复杂度是什么？
1.算法效率
算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度。
空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。
2.时间复杂度
在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。 一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。我们需要每个算法都上机测试吗？是可以，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
3.空间复杂度的概念
空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，使用大O渐进表示法。
4.大O的渐进表示法
大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。最终得到的结果就是大O阶。
大O的渐进表示法会去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：
但是在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况。
二、如何计算
1.计算常见的时间复杂度
时间复杂度是一个估算，看表达式中影响最大的那一项。
1.例1
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}上述的代码中Func1基本操作执行了F(N)=N²+2*N+10。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N²)。
2.例2
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}上述的代码中Func2基本操作执行了F(N)=2N+10。
使用大O的渐进表示法以后，Func2的时间复杂度为：O(N)。
3.例3
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
Func3的时间复杂度为：O(M+N)。
假设有了条件：①M远大于N，O(M)。
②M和N差不多大，O(M)或O(N)。
4.例4
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}Func4的时间复杂度为：O(1)。（确定的常数项，都是O(1)）
5.例5
const char * strchr ( const char * str, char character )
{
while(*str != '\0')
{
if(*str == character)
return str;
++str;
}
return NULL;
}例5基本操作执行最好1次，最坏N次，时间复杂度为 O(N)。
6.例6
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}例6冒泡排序基本操作执行最好N次，最坏执行了(N*(N+1)/2次，时间复杂度为 O(N²)。
7.例7
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n;
while (begin < end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid;
else
return mid;
}
return -1;
}例7有序数组的二分查找基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)。
8.例8
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}例8基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。
9.复杂度大小对比表
2.计算常见的空间复杂度
时间复杂度的计算是累计的，空间复杂度的计算的不累计的。
1.例1
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
例1循环走了n次，利用的是一个空间，所以空间复杂度为 O(1)。
2.例2
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i ] = fibArray[ i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray ;
}例2的斐波那契数列动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)。
3.例3
long long Factorial(size_t N)
{
return N < 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}
例3的递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)。
总结
复杂度计算在算法中有很大的意义。