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Shamir 门限方案｜秘密共享｜拉格朗日插值｜密码学

门限秘密分割

秘密s被分成n份毫无相关的部分信息，每一部分信息称为一个子密钥，由一个参与者持有，只有至少拥有k份子密钥时才能恢复出秘密s，这种方案为(k, n)-秘密分割门限方案，k称为方案的门限值

Shamir门限方案就是一种门限秘密分割方案，他是基于拉格朗日插值公式的

子密钥生成算法

  • 秘密为S
  • 取大素数p
  • 确定n，作为子密钥的持有者的数量
  • 确定k，作为门限值
  • 在1到p的有限域中随机取k-1个数,记做 a 1 , a 2 , . . . a k − 1 a_1,a_2,...a_{k-1} a1​,a2​,...ak−1​，作为k-1次多项式f(x)的非常数项的系数
  • 写出多项式为 f ( x ) = S + a 1 x + a 2 x + . . . + a k − 1 x k − 1 f(x)= S +a_1x+a_2x +...+a_{k-1}x^{k-1} f(x)=S+a1​x+a2​x+...+ak−1​xk−1，共n项,S是秘密，作为常数项放在多项式内
  • n个持有者记做 P 1 , P 2 , . . . . P n P_1,P_2,....P_{n} P1​,P2​,....Pn​， P i P_i Pi​分到的子密钥为 f ( i ) f(i) f(i)
  • 销毁多项式

复原秘密

复原秘密至少需要 k 个子密钥

利用 f ( x ) = ∑ j = 1 k f ( i j ) ∏ l = 1 , l ! = j k x − i l i j − i l m o d p f(x)=\sum_{j=1}^{k}{f(i_{j}) \prod_{l=1,l!=j}^{k}{\frac{x-i_l}{i_j-i_l}}}modp f(x)=∑j=1k​f(ij​)∏l=1,l!=jk​ij​−il​x−il​​modp

而我们如果只需要计算秘密，就只需要将x=0带入，得到的数就是所需要的秘密

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