Shamir 门限方案｜秘密共享｜拉格朗日插值｜密码学

门限秘密分割

秘密s被分成n份毫无相关的部分信息，每一部分信息称为一个子密钥，由一个参与者持有，只有至少拥有k份子密钥时才能恢复出秘密s，这种方案为(k, n)-秘密分割门限方案，k称为方案的门限值

Shamir门限方案就是一种门限秘密分割方案，他是基于拉格朗日插值公式的

子密钥生成算法

• 秘密为S
• 取大素数p
• 确定n，作为子密钥的持有者的数量
• 确定k，作为门限值
• 在1到p的有限域中随机取k-1个数,记做 $a_1,a_2,...a_{k-1}$，作为k-1次多项式f(x)的非常数项的系数
• 写出多项式为 $f(x)=S+a_{1}x+a_{2}x+...+a_{k-1}{x}^{k-1}$，共n项,S是秘密，作为常数项放在多项式内
• n个持有者记做 $P_1,P_2,....P_n$，$P_i$分到的子密钥为 $f(i)$
• 销毁多项式

复原秘密

复原秘密至少需要 k 个子密钥

利用 $f(x)={\sum }_{j=1}^{k}f(i_j){\prod }_{l=1,l!=j}^k\frac{x-i_l}{i_j-i_l}modp$

而我们如果只需要计算秘密，就只需要将x=0带入，得到的数就是所需要的秘密