SVM和超平面方程

1. 背景：

     1.1 最早是由 Vladimir N. Vapnik 和 Alexey Ya. Chervonenkis 在1963年提出

     1.2 目前的版本(soft margin)是由Corinna Cortes 和 Vapnik在1993年提出，并在1995年发表

     1.3 深度学习（2012）出现之前，SVM被认为机器学习中近十几年来最成功，表现最好的算法

2. 机器学习的一般框架：

     训练集 => 提取特征向量 => 结合一定的算法（分类器：比如决策树，KNN）=>得到结果

3. 介绍：

          

     3.1 例子：

      两类？哪条线最好？

       

          3.2 SVM寻找区分两类的超平面（hyper plane), 使边际(margin)最大

      

               总共可以有多少个可能的超平面？无数条

               

               如何选取使边际(margin)最大的超平面 (Max Margin Hyperplane)？

               超平面到一侧最近点的距离等于到另一侧最近点的距离，两侧的两个超平面平行

3. 线性可区分(linear separable) 和 线性不可区分 （linear inseparable)

4. 定义与公式建立

          超平面可以定义为： W*X+b=0

          

               W: weight vectot, W={w1,w2,w3......wn}   , n 是特征值的个数

               X: 训练实例

               b: bias

          

          4.1 假设2维特征向量：X = (x1, X2)

                把 b 想象为额外的 wight

                超平面方程变为：  w0+w1x1+w2x2=0

                所有超平面右上方的点满足： w0+w1x1+w2x2>0

                所有超平面左下方的点满足：  w0+w1x1+w2x2<0

               

                    调整weight，使超平面定义边际的两边：

            

               

     

                  综合以上两式，得到： （1）

                              

                  所有坐落在边际的两边的的超平面上的被称作”支持向量(support vectors)"

                  分界的超平面和H1或H2上任意一点的距离为        (i.e.: 其中||W||是向量的范数(norm))

                                                                                       

                   

               

                  所以，最大边际距离为： 

                                                        

                        

                   

5. 求解

     5.1  SVM如何找出最大边际的超平面呢(MMH)？

                           

              利用一些数学推倒，以上公式 （1）可变为有限制的凸优化问题(convex quadratic optimization)

               利用 Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件和拉格朗日公式，可以推出MMH可以被表示为以下“决定边     

               界 (decision boundary)”          

                                                            

                                                  

            

       5.2  对于任何测试（要归类的）实例，带入以上公式，得出的符号是正还是负决定

6. 例子：

          

求解方法：