Variational AutoEncoder（VAE）变分自编码器

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1. 模型总览

1.1 AutoEncoder

在说VAE之前，先来看一下它的前身AutoEncoder(AE)。
AE是非常知名的自编码器，它通过自监督的训练方式，能够从原始特征获得一个潜在的特征编码，实现了自动化的特征工程，并且达到了降维和泛化的目的。
它的网络结构很简单，有编码和解码两个部分组成：

容易看出，之所以是自监督就是因为网络的target即是input本身，因此不需要额外的标签工作。虽然它由编码器和解码器两个部分组成，但是，显然从自编码器这个名字就可以看出，AE的重点在于编码，即得到这个隐藏层的向量，作为input的潜在特征，这是常见的一种embedding的一种方式。而解码的结果，基于训练目标，如果损失足够小的话，将会与input相同，从这一点上看解码的值没有任何实际意义，除了通过增加误差来补充平滑一些初始的零值或有些许用处。因为，从输入到输出的整个过程，都是基于已有的训练数据的映射，尽管隐藏层的维度通常比输入层小很多，但隐藏层的概率分布依然只取决于训练数据的分布，这就导致隐藏状态空间的分布并不是连续的，于是如果我们随机生成隐藏层的状态，那么它经过解码将很可能不再具备输入特征的特点，因此想通过解码器来生成数据就有点强模型所难了。

1.2 Variational AutoEncoder

正是因为以上的这些原因，有大佬就对AE的隐藏层做了些改动，得到了VAE。

VAE将经过神经网络编码后的隐藏层假设为一个标准的高斯分布，然后再从这个分布中采样一个特征，再用这个特征进行解码，期望得到与原始输入相同的结果。VAE损失和AE几乎一样，只是增加编码推断分布与标准高斯分布的KL散度的正则项，显然增加这个正则项的目的就是防止模型退化成普通的AE，因为网络训练时为了尽量减小重构误差，必然使得方差逐渐被降到0，这样便不再会有随机采样噪声，也就变成了普通的AE。

没错，我们先抛开变分，它就是这么简单的一个假设… 仔细想一下，就会觉得妙不可言。

它妙就妙在它为每个输入$x$, 生成了一个潜在概率分布 $p(z|x)$,然后再从分布中进行随机采样，从而得到了连续完整的潜在空间，解决了AE中无法用于生成的问题。

《论语》有言：“举一隅，不以三隅反，则不复也。” ，给我的启发就是看事物应该不能只看表面，而应该了解其本质规律，从而可以灵活迁移到很多类似场景。聪明人学习当举一反三，那么聪明的神经网络，自然也不能只会怼训练数据。如果我们把原始输入 看作是一个表面特征，而其潜在特征便是表面经过抽象之后的类特征，它将比表面特征更具备区分事物的能力，而VAE直接基于拟合了基于已知的潜在概率分布，可以说是进一步的掌握了事物的本质。

2. 变分自编码

读了上面的内容之后，你应该对VAE模型有了一个较为直观和感性的认知。接下来，我们就从变分推断的角度，对VAE进行一个理性的推导。有了上面的基础，再读下面的内容时就会轻松愉快很多。

2.1 变分推断

变分自编码器（VAE）的想法和名字的由来便是变分推断了，那么什么是变分推断呢？
变分推断是MCMC搞不定场景的一种替代算法，它考虑一个贝叶斯推断问题，给定观测变量 $x\in {\mathbb{R}}^k$ 和潜变量 $z\in {\mathbb{R}}^d$, 其联合概率分布为 $p(z,x)=p(z)p(x|z)$, 目标是计算后验分布 $p(z|x)$。

然后我们可以假设一个变分分布 $q(z)$ 来自分布族 $Q$，通过最小化KL散度来近似后验分布 $p(z|x)$ :

$$q^{\ast }=argmi{n}_{q(z)\in Q}KL(q(z)||p(z|x))$$

这么一来，就成功的 将一个贝叶斯推断问题转化为了一个优化问题 ！

2.2 变分推导过程

有了变分推断的认知，我们再回过头去看一下VAE模型的整体框架，VAE就是将AE的编码和解码过程转化为了一个贝叶斯概率模型：
我们的训练数据即为观测变量$x$， 假设它由不能直接观测到的潜变量$z$生成。 于是，生成观测变量过程便是似然分布：p(x|z) ，也就是解码器。因而编码器自然就是后验分布：p(z|x) 。
根据贝叶斯公式，建立先验、后验和似然的关系：

$$p(z|x)=\frac{p(x|z)p(z)}{p(x)}={\int }_z\frac{p(x|z)p(z)}{p(x)}dz$$

接下来，基于上面变分推断的思想，我们假设变分分布$q_x(z)$, 通过最小化KL散度来近似后验分布$p(z|x)$ ，于是，最佳的$q_x^{\ast }$便是：

因为训练数据$x$是确定的，因此 $logp(x)$ 是一个常数，于是上面的优化问题等价于：

此时，优观察一下优化方程的形式…已经是我们前面所说的VAE的损失函数了~~
显然，跟我们希望解码准确的目标是一致的。要解码的准，则 $p(x|z)$ 应该尽可能的小，编码特征$z$ 的分布 $q_x(z)$ 同 $p(z)$ 尽可能的接近，此时恰好 $-logp(x|z)$ 和 $KL(q_x(z)||p(z))$ 都尽可能的小，与损失的优化的目标也一致。

3. 如何计算极值

正如前面所提到的AE潜变量的局限性，我们希望VAE的潜变量分布应该能满足海量的输入数据$x$并且相互独立，基于中心极限定理，以及为了方便采样，我们有理由直接假设 $p(z)$ 是一个标准的高斯分布 $\mathcal{N}(0,1)$。

3.1 编码部分

我们先来看一下编码部分，我们希望拟合一个分布$q_x(z)=\mathcal{N}(\mu ,\sigma )$尽可能接近 $p(z)=\mathcal{N}(0,1)$， 关键就在于基于输入$x$计算 $\mu$ 和 $\sigma$, 直接算有点困难，于是就使用两个神经网络$f(x)$ 和 $g(x)$ 来无脑拟合 $\mu$ 和 $\sigma$。

值得一提的是，很多地方实际使用$f(x)$ 和 $g(x)$两部分神经网络并不是独立的，而是有一部分交集。即他们都先通过一个 $h(x)$ 映射到一个中间层 $h$, 然后分别对 $h$ 计算 $f(h)$ 和 g(h)。 这样做的好处的话一方面是可以减少参数数量，另外这样算应该会导致拟合的效果差一些，算是防止过拟合吧。

3.2 解码部分

解码，即从潜变量 $z$ 生成数据 $x$ 的过程，在于最大化似然 $p(x|z)$ ，那这应该是个什么分布呢？通常我们假设它是一个伯努利分布或是高斯分布。
凭什么是这两个分布… 这个比较无解…可能伯努利分布十分简单，熟悉的人也多，高斯分布呢又太接近大自然了…关键用起来又方便…

知道了分布类型，那计算 $-logp(x|z)$ 最小值其实只要把分布公式带进去算就可以了…

• 高斯分布
  

和预期一样，演变为了均方误差。

• 伯努利分布
  假设伯努利的二元分布是 $P$ 和 $1-P$ (注意这里是输出每一维组成的向量)
  

很对，正好就是交叉熵的损失。

然后，将编码和解码部分组合到一起，就形成了完整的VAE网络。

4. 重参数技巧

训练的时候似乎出了点问题。从编码得到的分布$\mathcal{N}(\mu ,\sigma )$ 随机采样z 的这个过程没法求导，没法进行误差反向传播…
好在这里可以使用一个叫做重参数（reparametrisation trick） 的技巧：

$$z=f(x)\zeta +g(x),\zeta \sim N(0,1)$$
这样一来将采样变成了一个数值变换，整个过程便可导了~~~

这样，训练好模型之后，我们可以直接将解码部分拿出来，通过标准高斯分布随机采样源源不断的生成数据了。

【参考博客】:

• 解析Variational AutoEncoder（VAE）: https://www.jianshu.com/p/ffd493e10751
• 变分自编码器（VAEs）: https://zhuanlan.zhihu.com/p/25401928
• 当我们在谈论 Deep Learning：AutoEncoder 及其相关模型: https://zhuanlan.zhihu.com/p/27865705