洛谷P4598 解高次方程，数论
题意：
给出序列 [ a 0 , a 2 , a 3 , . . . , a n ] [a_{0},a_{2},a_{3},...,a_{n}] [a0,a2,a3,...,an]，求方程
a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n = 0 a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}=0 a0+a1x+a2x2+...+anxn=0
的所有有理数解
Solution：
设 x = p q x=\frac{p}{q} x=qp是一个解，并且 g c d ( p , q ) = 1 gcd(p,q)=1 gcd(p,q)=1，代入得到
∑ i = 0 n a i ( p q ) i = 0 \sum_{i=0}^{n}a_{i}(\frac{p}{q})^{i}=0 i=0∑nai(qp)i=0
通分得到
∑ i = 0 n a i p i q n − i = 0 \sum_{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i}=0 i=0∑naipiqn−i=0
在模 p p p时，有
∑ i = 0 n a i p i q n − i ≡ 0 ( m o d p ) ⇒ a 0 q n ≡ 0 ( m o d p ) \sum_{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i} \equiv 0\ (mod\ p)\Rightarrow a_{0}q^{n}\equiv 0\ (mod\ p) i=0∑naipiqn−i≡0 (mod p)⇒a0qn≡0 (mod p)
在模 q q q时，有
∑ i = 0 n a i p i q n − i ≡ 0 ( m o d q ) ⇒ a n p n ≡ 0 ( m o d q ) \sum_{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i} \equiv 0\ (mod\ q)\Rightarrow a_{n}p^{n}\equiv 0\ (mod\ q) i=0∑naipiqn−i≡0 (mod q)⇒anpn≡0 (mod q)
由于 g c d ( p , q ) = 1 gcd(p,q)=1 gcd(p,q)=1，于是一定存在
p ∣ a 0 , q ∣ a n p|a_{0},q|a_{n} p∣a0,q∣an
只需要枚举 a 0 , a n a_{0},a_{n} a0,an的因子分别作为 p , q p,q p,q，然后检查原式是否成立即可。原式可能非常大，一种检验的方法是在多模数下运算值都为 0 0 0
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