洛谷P2312 秦九韶算法求多项式点值

题意:

给出序列 [ a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ] [a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}] [a1,a2,a3,...,an],求出下列方程在区间 [ 1 , m ] [1,m] [1,m]的解
∑ i = 0 n a i x i = 0 \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=0 i=0naixi=0

Solution:

显然只需要枚举解,然后检查解是否符合条件即可,但直接多项式求值常数太大,朴素的求值需要 n ( n + 1 ) 2 \frac{n(n+1)}{2} 2n(n+1)次乘法和 n n n次加法。秦九韶算法可以优化至 n n n次乘法, n n n次加法
a 0 + a 1 x + . . . + a n x n = 0 a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}=0 a0+a1x+...+anxn=0
左式有 x x x的部分提出 x x x
a 0 + x ( a 1 + . . . + a n x n − 1 ) = 0 a_{0}+x(a_{1}+...+a_{n}x^{n-1})=0 a0+x(a1+...+anxn1)=0
括号内的重复这个步骤,一直到
a 0 + x ( a 1 + x ( a 2 + ( . . . . + x ( a n ) ) ) ) a_{0}+x(a_{1}+x(a_{2}+(....+x(a_{n})))) a0+x(a1+x(a2+(....+x(an))))
从内到外求即可

原题 a i < 1 0 10000 a_{i}<10^{10000} ai<1010000,并且检查解的时候多项式值会很大,不妨在模数下计算这个值,这样在读入 a i a_{i} ai时就可以快读取模。模数多可以提高正确性,但常数会变大,代码选用了 1 0 9 + 7 10^{9}+7 109+7 1 0 9 + 9 10^9+9 109+9两个模数

// #include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=105,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod1=1e9+7,mod2=1e9+9;

int n,m;
ll a1[N],a2[N];

bool check(int x)
{
    ll ret1=0,ret2=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        ret1=(a1[i]+ret1)%mod1*x%mod1;
        ret2=(a2[i]+ret2)%mod2*x%mod2;
    }
    ret1=(ret1+a1[0])%mod1;
    ret2=(ret2+a2[0])%mod2;
    return ret1==0&&ret2==0;
}

pair<ll,ll> read()
{
    ll ret1=0,ret2=0,flag=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') flag=0;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        ret1=(ret1*10+ch-48)%mod1;
        ret2=(ret2*10+ch-48)%mod2;
        ch=getchar();
    }
    return flag?make_pair(ret1,ret2):make_pair(-ret1,-ret2);
}

int main()
{
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    vector<int>ans;
    n=read().first; m=read().first;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        auto tmp=read();
        a1[i]=tmp.first;
        a2[i]=tmp.second;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(check(i)) ans.push_back(i);
    cout<<ans.size()<<'\n';
    for(int i:ans) printf("%d\n",i);
    return 0;
}

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