洛谷P2312 秦九韶算法求多项式点值

题意：

给出序列$[a_1,a_2,a_3,...,a_n]$，求出下列方程在区间$[1,m]$的解
$$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=0$$

Solution：

显然只需要枚举解，然后检查解是否符合条件即可，但直接多项式求值常数太大，朴素的求值需要$\frac{n(n+1)}{2}$次乘法和$n$次加法。秦九韶算法可以优化至$n$次乘法，$n$次加法
$$a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n=0$$
左式有$x$的部分提出$x$
$$a_0+x(a_1+...+a_n{x}^{n-1})=0$$
括号内的重复这个步骤，一直到
$$a_0+x(a_1+x(a_2+(....+x(a_n))))$$
从内到外求即可

原题$a_i<10^{10000}$，并且检查解的时候多项式值会很大，不妨在模数下计算这个值，这样在读入$a_i$时就可以快读取模。模数多可以提高正确性，但常数会变大，代码选用了$10^9+7$和$10^9+9$两个模数

// #include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=105,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod1=1e9+7,mod2=1e9+9;

int n,m;
ll a1[N],a2[N];

bool check(int x)
{
    ll ret1=0,ret2=0;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        ret1=(a1[i]+ret1)%mod1*x%mod1;
        ret2=(a2[i]+ret2)%mod2*x%mod2;
    }
    ret1=(ret1+a1[0])%mod1;
    ret2=(ret2+a2[0])%mod2;
    return ret1==0&&ret2==0;
}

pair<ll,ll> read()
{
    ll ret1=0,ret2=0,flag=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') flag=0;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        ret1=(ret1*10+ch-48)%mod1;
        ret2=(ret2*10+ch-48)%mod2;
        ch=getchar();
    }
    return flag?make_pair(ret1,ret2):make_pair(-ret1,-ret2);
}

int main()
{
    #ifdef stdjudge
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif
    vector<int>ans;
    n=read().first; m=read().first;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        auto tmp=read();
        a1[i]=tmp.first;
        a2[i]=tmp.second;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        if(check(i)) ans.push_back(i);
    cout<<ans.size()<<'\n';
    for(int i:ans) printf("%d\n",i);
    return 0;
}