力扣刷题day46|1143最长公共子序列、1035不相交的线、53最大子序和
文章目录
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- 1143. 最长公共子序列
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- 思路
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- 动态规划五部曲
- 1035. 不相交的线
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- 思路
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- 动态规划五部曲
- 53. 最大子序和
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- 贪心思路
- 动态规划思路
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- 动态规划五部曲
1143. 最长公共子序列
力扣题目链接
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
- 例如，
"ace"是"abcde"的子序列，但"aec"不是"abcde"的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
思路
本题和动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序。
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
注：这里为了代码写得更方便，要定义长度为**[0, i - 1]的字符串text1，而不是定义为长度为[0, i]**的字符串text1（但这样定义也能实现）
- 确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1]与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
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如果
text1[i - 1]与text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1 -
如果
text1[i - 1]与text2[j - 1]不相同，那就看看**text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列**（即dp[i - 1][j]） 和text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列（即dp[i][j - 1]），取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
- dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
- 确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
- 举例推导dp数组
以示例一的输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：
完整代码：
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
// 初始化
int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];
for (int i = 1; i <= text1.length(); i++) {
for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[text1.length()][text2.length()];
}
1035. 不相交的线
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在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j]- 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。
示例 1：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
示例 2：
输入：nums1 = [2,5,1,2,5], nums2 = [10,5,2,1,5,2]
输出：3
示例 3：
输入：nums1 = [1,3,7,1,7,5], nums2 = [1,9,2,5,1]
输出：2
思路
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交
直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例：A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
所以本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
直接参考上一道题动态规划：1143.最长公共子序列 的代码，将字符串修改成两个数组就能AC
动态规划五部曲
参考上一道题的解析
完整代码：
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
// 初始化
int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[nums1.length][nums2.length];
}
53. 最大子序和
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给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1
示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23
贪心思路
局部最优：当前“连续和”为负数的时候立刻放弃，从下一个元素重新计算“连续和”，因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。
全局最优：选取最大“连续和”
局部最优的情况下，并记录最大的“连续和”，可以推出全局最优。
从代码角度上来讲：遍历nums，从头开始用count累积，如果count一旦加上nums[i]变为负数或者0，那么就应该从nums[i+1]开始从0累积count了，因为已经变为负数的count，只会拖累总和。
完整代码
public int maxSubArray(int[] nums) {
// 记录最终的和
int sum = Integer.MIN_VALUE;
// 记录每个区间的和
int count = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
count += nums[i];
if (count > sum) { // 取区间累计的最大值（相当于不断确定最大子序终止位置）
sum = count;
}
if (count <= 0) {
count = 0; // 相当于重置最大子序起始位置，因为遇到负数一定是拉低总和
}
}
return sum;
}
动态规划思路
动态规划五部曲
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
- 确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- 加入
nums[i]时，序列和仍在增加，dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和 - 加入
nums[i-1]时候序列和变为负数，要重新计算序列和了，nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])
- dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]表示第0个数之前的序列和，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]
- 确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
- 举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
完整代码：
public int maxSubArray(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return 0;
int[] dp = new int[nums.length];
// 初始化
dp[0] = nums[0];
int res = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
res = res > dp[i] ? res : dp[i];
}
return res;
}