概率论第三章--多维随机变量及其分布

一、二维离散型

1.1、二维离散型

1.1.1、随机变量

1.1.2、分布函数

定义：设(x,y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函F(x,y)=P{(X<=x)n(Y<=y)}=P{X<=x,Y<=y},称F(x,y)为二维随机变量(x,y)的联合概率分布函数，简称为随机变量x和y的联合分布函数。
P{x1 性质：

• 单调不减：F(x,y)是变量x和y的单调不减函数，即对任意固定y，当x2>x1时，有F(x2,y)>=F(x1,y)；对任意固定x，当y2>y1时，有F(x,y2)>=F(x,y1)。
• 规范性：0<=F(x,y)<=1，且$F(+\infty ,+\infty )$=1，$F(x,-\infty )$=0，$F(-\infty ,y)$=0，$F(-\infty ,-\infty )$=0.
• 右连续性：F(x,y)关于x右连续，关于y右连续
• 非负性：对于任意x1=0。

1.1.3、边缘分布

• $F_x(x)=P(X⩽x)={\lim }_{y\to +\infty }P(X⩽x,Y⩽y)={\lim }_{y\to \infty }F(x,y)=F(x,+\infty )$
• $F_y(y)={\lim }_{x\to +\infty }F(x,y)=F(+\infty ,y)$

1.1.4、条件分布

定义：
设(x,y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}>0，则称$P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_j},i=1,2,\dots$，为在$Y=y_j$条件下随机变量X的条件分布律。
同理，设(x,y)是二维离散型随机变量，对于固定的i，若P{X=xi}>0，则称$P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{P(Y=y_j,X=x_i)}{P(X=x_i)}=\frac{p_{ij}}{p_i},j=1,2,\dots$，为在$X=x_i$条件下随机变量Y的条件分布律。

1.1.5、独立

若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为$P(X=i,Y=j)=p_{ij},i,j=1,2,\dots$。如果X和Y相互独立，则$P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)$，即$p_{ij}=p_i{p}_j,i,j=1,2,\dots$

1.2、二维连续型

1.2.1、联合分布函数F(x,y)

设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，若存在一个非负实值可积函数f(x,y)，使得对任意x，y，有F(x,y)=${\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数，简称为联合密度。

1.2.2、联合概率密度f(x,y)

性质：

• 非负性：f(x,y)>=0
• 规范性:${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$
• 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则f(x,y)=$\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$
• 设G是平面上一区域，$P((X,Y)\in G)=\int {\int }_{G}f(x,y)dxdy$，即哪儿求概率，哪儿求积分。

1.2.3、边缘概率密度

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$$
$$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$$

1.2.4、条件概率密度

$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$
$$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$$

1.2.5、分布函数

1、均匀分布
若$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{A},& \text{(x,y)属于 G}\\ 0,& \text{其它}\end{array}$$
则称(X,Y)在G上服从均匀分布，其中A为平面区域G的面积。
若(X,Y)在G上服从均匀分布，即(X,Y)落在G内各点是等可能的。
2、二维正态分布
若f(x,y)=$\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-p^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-p{)}^2}[\frac{(x-\mu {)}^2}{{\sigma }_1^2}-2p\frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]},-\infty <x<+\infty ,\infty <y<+\infty ,其中{\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,p,{\sigma }_1>0,{\sigma }_2>2,-1<p<1都是参数$。则称(x,y)服从参数为${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,p的二维正态分布，记为(x,y)-N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1,{\sigma }_2;p)$

1.2.6、独立性

设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，边缘概率密度分别为$f_X(x),f_Y(y)$，若X和Y相互独立，则f(x,y)=f_X(x)f_Y(y),F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)。
注：
1、二维正态随机变量(X,Y)-$N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;p)$。若X和Y相互独立，则p=0。
2、设随机变量x与y相互独立，令U=h(X),V=g(Y)，其中h(x),g(y)为连续函数，则U与V也相互独立。

三、二维离散型随机变量函数分布

1、泊松分布，可加性
2、二项分布（独立性），若x-B(n,p1),y-B(n,p2)，若p1不等于p2，则不可加，否则可加
3、正态分布，可加性
4、卡方分布，可加性

四、二维连续型随机变量正数分布

$Z=X+Y,则Y=Z-X，X=Z-Y，f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy=P(X+Y=k)={\sum }_{i=0}^{k}P(X=i，Y=k-i)$，当相互独立，则可拆分相乘。

五、最大最小值函数的分布

$$F_{max}(z)=[F(Z){]}^n,F_{min}(Z)=1-[1-F(z){]}^n$$