更上一层楼，数学是基础——渐近线和可分离变量微分方程

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渐近线

【(同济)《高等数学》(第六版上)第一章总习题14】

相关知识点

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点到直线的距离

$$d(M,L)=\frac{|kx-y+b|}{\sqrt{1+k^2}}$$

洛必达法则

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式值的方法。
比如：$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }{e}^t=1$

证明直线为曲线的渐近线的充分必要条件

$$\begin{gathered} 证明：\because d(M,L)=\frac{|kx-y+b|}{\sqrt{1+k^2}} \\ \therefore \underset{x\to \infty }{\lim }d(M,L)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{|kx-y+b|}{\sqrt{1+k^2}}=0(y=f(x))， \\ 从而，得\underset{x\to \infty }{\lim }[kx-f(x)+b]=0， \\ 即b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-kx]. \\ 又\underset{x\to \infty }{\lim }[\frac{f(x)}{x}-k]=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\cdot [f(x)-kx]=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\cdot b=0\cdot b=0 \\ 得k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}.【必要性证毕】 \\ 反之，如果：b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-kx] \\ 则\underset{x\to \infty }{\lim }d(M,L)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{|kx-y+b|}{\sqrt{1+k^2}}=0， \\ 从而所得y=kx+b确为曲线之渐近线.【充分性证毕】 \end{gathered}$$

求曲线$y=(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$的渐近线

$$\begin{gathered} k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x} \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(2x-1)e^{\frac{1}{x}}}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(2x-1)}{x}\cdot \underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{1}{x}}=2 \\ b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-kx] \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }[(2x-1)e^{\frac{1}{x}}-2x] \\ =\underset{x\to \infty }{\lim }2x\cdot (e^{\frac{1}{x}}-1)-\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\frac{1}{x}} \\ =\underset{t\to 0}{\lim }2\cdot \frac{e^t-1}{t}-1【替换：t=\frac{1}{x}】 \\ =2-1=1 \end{gathered}$$
所以曲线$y=(2x-1)e^{\frac{1}{x}}$的渐近线为：$y=2x+1$。

可分离变量微分方程

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基本形式$y^{{}^{\prime }}=f(y,x)$

【示例：$y+3\cdot \frac{d_y}{d_x}-5=0$】

$$\begin{gathered} 解：\frac{d_y}{d_x}=\frac{5-y}{3} \\ \frac{d_y}{5-y}=\frac{d_x}{3} \\ 两端分别积分得： \\ -ln|5-y|=\frac{x}{3}+c \\ 结果： \\ y=5\pm \frac{1}{e^{(\frac{x}{3}+c)}} \\ 验算： \\ 5\pm \frac{1}{e^{(\frac{x}{3}+c)}}+3\cdot (\mp \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{e^{(\frac{x}{3}+c)}})-5=0 \end{gathered}$$

总结：

• 数学能提供编程的思路，是程序员的内功。
• 能将问题用数学语言表达清楚，基本就能写出代码了。

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