深度学习基础 - 积分

深度学习基础 - 积分

flyfish

考虑平方根函数$f(x)=\sqrt{x}$
，其中$x\in [0,1]$ 。在区间[0,1]上，函数f“下方”的面积是多少？问题中的“下方”面积，是指函数)，
$y=f(x)$的图象与x轴之间的部分的面积S。我们把这个面积称为函数f在区间[0,1]上的积分，写作

$$S={\int }_0^1\sqrt{x}dx$$

其中的$dx$
称为积分变量，表示要求面积的范围是用坐标轴横轴的刻度计算；
${\int }_0^1$
则表示从0开始算起，到1为止，称为积分范围或积分域，

其中0称为积分下界，1称为积分上界，

$\int$叫做积分号，是从拉长的字母S（拉丁文中的summa ：求和的首字母）演变过来的。

拉丁文的s像f一样

函数$\sqrt{x}$写在中间，称为被积函数。

将坐标轴横轴[0,1]等分成5个部分：[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1]，

然后每一部分上放一个黄色的长方形。这5个长方形的高度分别是函数在每个部分的极大值（也就是最右侧的值）：
$$\sqrt{0.2},\sqrt{0.4},\sqrt{0.6},\sqrt{0.8},1$$
这样函数下方的部分就被5个黄色长方形覆盖了，所以面积SS小于5个黄色长方形面积之和
$$\sqrt{0.2}\left(0.2-0\right)+\sqrt{0.4}\left(0.4-0.2\right)+\sqrt{0.6}\left(0.6-0.4\right)+\sqrt{0.8}\left(0.8-0.6\right)+\sqrt{1}\left(1-0.8\right)\approx 0.7497.$$
求出了S的上限之后，用类似的方法可以求S的下限

如果将横轴等分成12个部分，然后按照以上的方法放上绿色长方形，那么从图中可以看出，SS必定大于绿色长方形面积之和：
$$\sqrt{\frac{0}{12}}\left(\frac{1}{12}-0\right)+\sqrt{\frac{1}{12}}\left(\frac{2}{12}-\frac{1}{12}\right)+\cdots +\sqrt{\frac{11}{12}}\left(1-\frac{11}{12}\right)\approx 0.6203.$$
于是，面积SS的取值介于0.6203和0.7497之间。

只要不断地用相似的形状“逼近”，最后总会趋向函数下方图形的真实面积。然而，对于某些“病态”的函数，以上的方法是无法得到确定的数值的。

定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。

佛兰德（Folland）总结说，“黎曼积分是把定义域区间[a,b]划分为子区间”，而勒贝格积分则是“划分f的值域”。

为微积分基本定理
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)=f(x)，则
${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$
通常也被称牛顿-莱布尼兹公式
Newton-Leibniz formula

可以利用反导函数（原函数）也就是牛顿-莱布尼兹公式求积分

黎曼和

不定积分