宋浩概率论与数理统计笔记——第二章

2.1随机变量的概念

随机变量（random variable）表示随机试验各种结果的实值单值函数。

定义：$\Omega$样本空间，$X=X(\omega )$是$\omega$上的实值函数（每个样本都对应一个数）

随机变量常用$X、Y、Z、\xi 、\eta 、\zeta$表示

$\{\omega |X(\omega )=a\}$:事件，简写成$\{X=a\}$,概率表示为$P\{X=a\}$或$P(X=a)$

例：公交车站每五分钟发一辆车，候车时间$X\in [0,5]$

$P\{x\ge 0\}=1$

$P\{x>6\}=0$

基本类型：

​ 离散型：有限个，无限可列个（ 例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。 ）

​ 非离散型：连续型（ 例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。 ）

2.2.1离散型随机变量及其概率分布

概率分布表

事件X	1	2	3	4	5	6
概率P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

事件X	1	0
概率P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

X的所有取值$x_k(k=1,2,...)$可列个

$P\{X=x_k\}=P_k$概率函数（分布）

概率函数图

各条线段的总长度相加为1

X	2	4	8	16	32	…
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{32}$	…

例：

五个黑球，三个白球，每次抽一个，不放回

直到取到黑球为止，X为取到的白球数目

求$P\{-1<x<0\}$,$P\{1<x<3\}$,$P\{x\le 3\}$

$X=0$ $P\{X=0\}=\frac{5}{8}$

$X=1$ $P\{X=1\}=\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{15}{56}$

$X=2$ $P\{X=2\}=\frac{3}{8}\times \frac{2}{7}\times \frac{5}{6}=\frac{5}{56}$

$X=3$ $P\{X=3\}=\frac{3}{8}\times \frac{2}{7}\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{5}=\frac{1}{56}$

X	0	1	2	3
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

$P\{-1<x<0\}=0$

$P\{1<x<3\}=\frac{5}{56}$

$P\{x\le 3\}=1$

2.2.2分布函数的定义

分布函数对离散型和连续型都是成立的

定义：设$X$位一随机变量，则对任意实数$x$，$\{X\le x\}$是一个随机事件，称

$F(x)=P\{X\le x\}$为随机变量$X$的分布函数

定义域 $x\in (-\infty ,+\infty )$

值域 $F(x)\in [0,1]$

$X$的取值不超过$x$的概率

性质：

1）$0\le F(x)\le 1,F(x)\in [0,1]$

2）$F(x)$不减，$x_1<x_2$,$F(x_1)\le F(x_2)$
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=F(+\infty )=1$$

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=F(-\infty )=0$$

上面两个公式可用来求参数

3）$F(x)$是右连续的，且至多有可列个间断点

• 离散型 右连续
• 连续型 连续

$$右连续：\underset{x\to a^{+}}{\lim }F(x)=F(a)$$

$$左连续：\underset{x\to a^{-}}{\lim }F(x)=F(a)$$

$$连续：\underset{x\to a}{\lim }F(x)=F(a)$$

连续简单来说就是极限值等于函数值

下面的公式对离散型和连续型都是成立的

$F(x)=P(X\le x)$

$P\{x\le a\}=F(a)$

$P\{x>a\}=1-P\{x\le a\}=1-F(a)$

$P\{a<x\le b\}=P\{x\le b\}-P\{x\le a\}=F(b)-F(a)$

$P\{x=a\}=F(a)-F(a-0)$$\ast \ast 注：F(a-0)表示不包含x=a那个点的区间，F(a)表示包含x=a那个点的区间$

$P\{a\le x\le b\}=F(b)-F(a-0)$

$P\{x<a\}=F(a-0)$

$P\{x\ge a\}=1-F(a-0)$

例：
$$F(x)=\{\begin{array}{rc}a-e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$$
$\lambda >0,求a$

$F(-\infty )=0=0$

$F(+\infty )={\lim }_{x\to +\infty }(a-\frac{1}{e^{\lambda }x})={\lim }_{x\to +\infty }(a-0)=1$

$\therefore a=1$

2.2.2离散型的分布函数

例：

X	-1	2	3
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

$F(x)=P(X\le x)$

$x\in (-\infty ,+\infty )$

解：

$x<-1$ $F(-1)=P(X\le -1)=0$

$-1\le x<2$ $F(x)=P(X\le x)=F(X=-1)=\frac{1}{2}$

$2\le x<3$ $F(x)=P(X\le x)=F(X=-1)+F(X=2)=\frac{5}{6}$

$ x\geq 3$ $F(x)=P(X\le x)=F(X=-1)+F(X=2)+F(X=3)=1$
$$\therefore F(x)=\{\begin{array}{rc}0& x<-1\\ \frac{1}{2}& -1\le x<2\\ \frac{5}{6}& 2\le x<3\\ 1& x\ge 3\end{array}$$

例：

X	-2	0	1	3
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

解：

①

②

$x<-2$

$-2\le x<0$

$0\le x<1$

$1\le x<3$

$3\le x$

③

$F(x)=0$

$F(x)=\frac{1}{2}$

$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$

$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$

$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$

④

根据函数值求概率函数：

$x_k是X的取值$

$P\{X=x_p\}=F(x_k)-F(x_k-0)$

$注：F(x_k-0)是把F(x_k)的点往左挪一点点$

2.2.2连续型的分布函数

$F(x)=P{X\leq x}=\int_{-\infty}^xf(t)dt $

$F^{\prime }(x)=f(x)$

例：

求$f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$的分布函数

$F(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{\pi (1+t^2)}dt=\frac{1}{\pi }\arctan t{|}_{-\infty }^x=\frac{1}{\pi }\arctan x+\frac{1}{2}$

例：
$$F(x)=\{\begin{array}{rc}-\frac{1}{2}x+1& 0\le x\le 2\\ 0& 其他\end{array}$$
$x<0时，F(x)={\int }_{-\infty }^{x}0dx=0$

$0\le x<2时,F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt={\int }_{-\infty }^{0}0dt+{\int }_0^x(-\frac{1}{2}t+1)dt=-\frac{1}{4}{x}^2+x$

$x\ge 2时,F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt={\int }_{-\infty }^{0}0dt+{\int }_0^2(-\frac{1}{2}t+1)dt+{\int }_2^{x}0dt=1$

例：
$$F(x)=\{\begin{array}{rc}0& x<0\\ A{x}^2& 0\le x\le 1\\ 1& 1\le x\end{array}$$
①求A

${\lim }_{x\to 0^{+}}A{x}^2=0=F(0)=0$

${\lim }_{x\to 1^{-}}A{x}^2=A=F(1)=1$

②
$$F(x)=\{\begin{array}{rc}2x& 0\le x<1\\ 0& 其他\end{array}$$

③

$P\{0.3<X<0.7\}=F(0.7)-F(0.3)=0.4$

2.2.2连续型随机变量及其概率密度函数

引例：

身高150~200

范围 频数

150~160 10

160~170 20

170~180 40

180~190 15

190~200 15

例：有99年的降水量

范围 频数 频率

670~770 1 0.01

770~870 8 0.081

870~970 9 0.091

… … …

1570~1670 3 0.03

​ 频数直方图

​ 频率密度直方图

频率密度直方图的特点

1. 每个小长方形的面积等于该组的概率

2. 所有的小长方形面积之和等于1

3. 介于x=a，x=b之间的面积近似等于(a,b]的概率

   当组距很小时，接近于光滑的线，称为概率密度函数

定义：非负可积函数$f(x)$,$a\le b$,$P\{a<x\le b\}={\int }_a^{b}f(x)dx$

​ $x$:连续型随机变量

​ $f(x)$:概率分布密度函数，记作$X\sim f(x)$

1. $f(x)\ge 0$
2. ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)=1$（常用来求参数）
3. 连续型随机变量取个别值的概率为0

$$0\le P\{x=x_0\}\le P\{x_0-\Delta x<x\le x_0\}={\int }_{x_0-\Delta x}^{x_0}f(x)dx=0$$

连续型，有无端点无所谓：

$P\{a\le x\le b\}=P\{a<x\le b\}=P\{a\le x<b\}=P\{a<x<b\}$

$P\{x<a\}=P\{x\le a\}$

$P\{x>a\}=P\{x\ge a\}$

概率为0的事件未必是不可能事件，概率为1的事件未必是必然事件

例：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 66: …\leq 2 \\ 0 & \̲m̲b̲o̲x̲{其他} \end{arra…

求k

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_0^2(kx+1)dx=\frac{1}{2}k{x}^2+x{|}_0^2=1$$

$k=-\frac{1}{2}$

$P\{x\le 2\}={\int }_{-\infty }^{2}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx=1$

$P\{1.5<x<2.5\}={\int }_{1.5}^{2.5}f(x)dx={\int }_{1.5}^{2}f(x)dx=0.0625$

概率密度函数

在该点的函数值反映了：$X$取$x$附近值的大小,$P\{x<X<x+\Delta x\}$
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{P\{x<X<x+\Delta x\}}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_x^{x+\Delta x}f(x)dx}{\Delta x}=f(x)$$
$P\{x<X<x+\Delta x\}\approx f(x)\Delta x$

2.2.3 正态分布

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$,$-\infty <x<+\infty$

$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$

${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-(\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }{)}^2}d(\frac{x-\mu }{\sqrt{2}\sigma })=\frac{1}{\sqrt{\pi }}\times \sqrt{\pi }=1$

分布函数：

$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$

性质：

1. $y=\phi (x)$以$x=\mu$为对称轴，钟形曲线

   $x=\mu$时$\phi (x)$最大值$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$

2. $y=\phi (x)$以$x$轴为渐近线且在$x=\mu \pm \sigma$处有拐点

3. ①$\sigma$固定，$\mu$变化：

   图像左右移动，

   ②$\mu$固定，$\sigma$变化：

   $\sigma$变小，最高点上移，变陡；$\sigma$变大，最高点下移，变缓

标准正态分布

$\mu =0,\sigma =1$

${\varphi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<+\infty$

${\Phi }_0(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$

性质：

y轴为对称轴,偶函数

${\varphi }_0(x)={\varphi }_0(-x)$

${\varphi }_0(-x)=1-{\varphi }_0(x)$

查表：表只给了$0\le x<5$的值

​ 当$x\ge 5$时，认为${\varphi }_0(x)=0$，${\Phi }_0(x)=1$

​ 当$x\le -5$时，认为${\varphi }_0(x)=0$，${\Phi }_0(x)=1$

​ 当$-5<x\le 0$时，用${\Phi }_0(-x)=1-{\Phi }_0(x)$来求

一般的正态分布化为标准的正态分布

$\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$,$-\infty <x<+\infty$

​ $=\frac{1}{\sigma }\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}{2}}\right]$

​ $=\frac{1}{\sigma }{\varphi }_0(\frac{x-\mu }{\sigma })$

$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$

​ $=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(\frac{t-\mu }{\sigma }{)}^2}{2}}d(\frac{x-\mu }{\sigma })$

​ $={\Phi }_0(\frac{x-\mu }{\sigma })$

例：

$X$~$N(0,1)$

$$\begin{gathered} P\{|X|\le 1.96\}=P\{-1.96\le X\le 1.96\}={\Phi }_0(1.96)-{\Phi }_0(-1.96) \\ ={\Phi }_0(1.96)-(1-{\Phi }_0(1.96))=2\times {\Phi }_0(1.96)-1 \end{gathered}$$

例：

$X$~$N(1,4)$，$\mu =1,\sigma =2$

$P\{0<X<1.6\}=\Phi (1.6)-\Phi (0)={\Phi }_0(\frac{1.6-1}{2})-{\Phi }_0(\frac{0-1}{2})={\Phi }_0(0.3)-{\Phi }_0(-0.5)$

例：

生产零件的长度符合正态分布$X$~$N(50,1)$,零件长度$50\pm 1$是合格的。

问：①合格的概率

​ ②重复出三次，至少一个合格的概率

①$$\begin{gathered} P\{49\le X\le 51\}=\Phi (51)-\Phi (49)={\Phi }_0(\frac{51-50}{1})-{\Phi }_0(\frac{49-50}{1})= \\ {\Phi }_0(1)-{\Phi }_0(-1)=2{\Phi }_0(1)-1=0.6826 \end{gathered}$$

②设Y为合格的个数

$P\{Y\ge 1\}=1-P\{Y=0\}=1-(0.6826{)}^3\approx 0.968$

例：

$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$

证：①$P\{|X-\mu |<\sigma \}$

​ ②$P\{|X-\mu |<2\sigma \}$

​ ③$P\{|X-\mu |<3\sigma \}$

$P\{|X-\mu |<\sigma \}=P\{-\sigma <X-\mu <\sigma \}=P\{\mu -\sigma <X<\mu +\sigma \}$

​ $=\Phi (\mu +\sigma )-\Phi (\mu -\sigma )$

​ $={\Phi }_0(\frac{\mu +\sigma -\mu }{\sigma })-{\Phi }_0(\frac{\mu -\sigma -\mu }{\sigma })$

​ $={\Phi }_0(1)-{\Phi }_0(-1)$

​ $=2{\Phi }_0(1)-1$

​ $=0.6826$

$P\{|X-\mu |<2\sigma \}=0.9544$

$P\{|X-\mu |<3\sigma \}=0.9974$

$3\sigma 准则$

可以认为，Y 的取值几乎全部集中在（μ-3σ,μ+3σ)区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%

$X$~$N(0,1)$，给定$\alpha (0<\alpha <1)$，找到一个值$u_{\alpha }$，使得$P\{X>u_{\alpha }\}=\alpha$

$u_{\alpha }称为上\alpha 分位数$

2.2.3 0-1分布

X	1	0
P	p	1-p

$P\{x=k\}=P^k(1-P{)}^{1-k},k=0,1$

$k=0,1-p$

$k=1,p$

例：

废品率10%,$F(x)=\{\begin{array}{rc}1& 合格\\ 0& 废品\end{array}$

$P\{X=1\}=0.9,P\{X=0\}=0.1$

0-1分布是二项分布的特例

有两种结果，试验只做一次

2.2.3超几何分布

100学生，男60人，女40人，取10人

X：取10人中男生的人数

$P\{X=k\}=\frac{C_{60}^k{C}_{40}^{10-k}}{C_{100}^{10}}$

N个元素分成N_1个属于第一类，N_2个属于第二类

取n个，X：取n个属于第一类的个数

$P\{X=k\}=\frac{C_{N_1}^k{C}_{N_2}^{n-k}}{C_N^n}，k=0,1,...,min\{n,N_1\}$

例：

有20名学生，5女15男，任取4人参加比赛，X：4人中女生的人数

$P\{X=k\}=\frac{C_5^k{C}_{15}^{4-k}}{C_{20}^4},k=0,1,2,3,4$

不放回抽样试验，N很大，n相对于N很小时，$P=\frac{M}{N}$的改变很小

$P\{X=k\}=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\approx C_n^k{P}^k(1-p{)}^{(n-k)}$

例：

有10000粒种子，发芽率99%，取200粒，至多1粒不发芽的概率

10000*1% = 100粒 不发芽

9900粒 发芽

$N=10000，N_1=100,N_2=9900$

$P\{X\le 1\}=P\{X=0\}+P\{X=1\}=\frac{C_{100}^0{C}_{9900}^{200}}{C_{10000}^{200}}+\frac{C_{100}^1{C}_{9900}^{199}}{C_{10000}^{200}}$

​ $\approx C_{200}^{0}0.01^0(1-0.01{)}^{200}+C_{200}^{1}0.01^1(1-0.01{)}^{199}$

​ $\approx 0.406$

二项分布，$n\ge 100,np\le 10$时，用泊松分布近似计算$\lambda =np$

$超几何分布⟶二项分布⟶泊松分布$

2.2.3二项分布

$P(A)=O,做了n次试验，发生了k次$

$P\{X=K\}=C_N^k{P}^k(1-P{)}^{n-k},k=0,1,2\dots ,n$

$X$~$B(n,p)$

最可能值：

1. (n+1)p不为整数，[(n+1)p]达最大值

2. (n+1)p是整数,(n+1)p、()

例：

报警器，每台报警的机率是0.8，以99%的机率报警需要多少台报警器

$X:$发生危险时报警的台数

$n：$安装的台数

$P\{x\ge 1\}=1-P\{X=0\}=1-C_n^{0}0.2^n$

$1-0.2^n\ge 0.99$

$0.01\ge 0.2^n$

$\ln 0.01\ge n\ln 0.2$

$n\ge \frac{\ln 0.01}{\ln 0.2}$

$n\ge 3$

例：

每台机床需要维修的概率P=0.01

1.1个人看管20台

X：为需要维修的台数

$P\{X>1\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}$

​ $=1-C_2{0}^{0}0.99^{2}0-C_2{0}^{1}0.01\times 0.99^{1}9$

​ $\approx 0.0169$

2. 3个人看管80台

$P\{X>3\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}-P\{X=2\}-P\{X=3\}\approx 0.0087$

2.2.3几何分布

$P(A)=P，第k次首次发生，前k-1次未发生$

$P\{X=k\}=(1-p{)}^{k-1}p$ $X$ ~$G(p)$

例：

射中概率0.6，X：直到命中目标的次数

$P\{X=k\}=0.4^{k-1}0.6$，$k=1,2,3,...$

连续型的分布

2.2.3均匀分布

$f(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{b-a}& a\le x\le b\\ 0& 其他\end{array}$

$x\sim U[a,b]$

分布函数

$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

$F(x)=\{\begin{array}{rc}0& x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& a\le x<b\\ 1& x\ge b\end{array}$

$X\sim U[a,b]$,$[c,d]\subset [a,b]$

$P\{c\le x\le d\}={\int }_c^d\frac{1}{b-a}dt=\frac{d-c}{b-a}$

例：公共汽车从7点开始每15分钟开一班车，乘客从7点到7点半到达车站是一个均匀分布

问： ①等车不超过五分钟的概率

​ ②等车超过十分钟的概率

过X分钟到达车站，X~U[0,30]

$f(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{30}& 0\le x\le 30\\ 0& 其他\end{array}$

①$P\{10\le x\le 15\}+P\{25\le x\le 30\}=\frac{5}{30}+\frac{5}{30}=\frac{1}{3}$

②$P\{0\le x<5\}+P\{15<x<20\}=\frac{1}{3}$

2.2.3泊松分布

$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2,...,\lambda >0$

$X\sim P(\lambda )$

电话台呼叫次数，公用设施（等车，收银台）

二项分布：

0.99^20可以用泊松分布来近似

n较大p较小，np适中

$n\ge 100,np\le 10$

例：

电话台，每分钟的用户呼叫次数X~P(3)$\lambda =3$

一分钟内呼叫不超过5次的概率

$X$~$P(3),\lambda =3$

$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=\frac{3^k}{k!}{e}^{-3},k=0,1,2,...$

$P\{X\le 5\}={\sum }_{k=0}^{5}P\{X=k\}=0.916$

例：

证券部有1000个账户，每户10万元，每户提20%的概率是0.006,问：需要准备多少现金才能以95%以上的概率保证用户提款的要求

$10\times 0.2=2$万元

$n=1000$,$p=0.006$,$np=6$,$\lambda =6$

X:表示来提钱的用户数，X~B(1000,0.006)

现金x元

$P\{2X\le x\}\ge 0.95$

$P\{X\le \frac{x}{2}\}\ge 0.95$

${\sum }_{k=0}^{\frac{x}{2}}\frac{6^k}{k!}{e}^{-6}\ge 0.95$

$\frac{x}{2}\ge 10$

$x\ge 20$

上面的式子需要查表计算，先找到$\lambda =6$,然后把k=0,1,…的值一直加，直到它的值大于等于0.95

在k=10的时候，超过0.95

例：

某种非传染病，发病率=0.001，有一单位有5000人，问至少两人得病的概率

X：得病的人数，X~B(5000,0.001)

n=5000,np=5,$\lambda =5$

$P\{X\ge 2\}=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}$

​ $=1-0.006738-0.03369$

​ $=0.959572$

2.2.3指数分布

$f(x)=\{\begin{array}{rc}\lambda e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$

$\lambda >0$,$x$~$exp(\lambda )$

$F(x)=\{\begin{array}{rc}1-e^{-\lambda x}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$

$F(x)=P\{X\le x\}$

​ $={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$

​ $1-e^{-\lambda x}$

例：机器的寿命X为

$f(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{1000}{e}^{-\frac{x}{1000}}& x>0\\ 0& x\le 0\end{array}$

机器有3个元件，求这个机器工作1000小时以上的概率

$P\{X>1000\}={\int }_{1000}^{+\infty }{e}^{-\frac{x}{1000}}dx=-e^{-\frac{x}{1000}}{|}_{1000}^{+\infty }=e^{-1}$

$P(A)=(P(x>1000){)}^3=e^{-3}$

例：

X是指数分布，参数为$\lambda$，s>0,t>0,证$P\{X>s+t|x>s\}=P\{X>t\}$

指数分布具有无记忆性

$P\{X>s+t|X>t\}=\frac{P\{\{X>s+t\}\bigcap \{X>s\}\}}{P\{X>s\}}=\frac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}}=\frac{{\int }_{s+t}^{+\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx}{{\int }_s^{+\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx}=\frac{-e^{-\lambda x}{|}_{s+t}^{+\infty }}{-e^{-\lambda x}{|}_s^{+\infty }}=\frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda (s)}}=e^{-\lambda t}$

$P\{X>t\}={\int }_t^{+\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=-e^{-\lambda x}{|}_t^{+\infty }=e^{-\lambda t}$

2.3.1 随机变量函数的分布（离散型）

已知X是某分布，$Y=3X-5$，问Y的分布函数是什么

例：

1. X是离散型的变量

   X	7	8	9	10
   P	0.1	0.3	0.4	0.2

   $Y=4X$

Y	28	32	36	40
P	0.1	0.3	0.4	0.2

$Z=X^2$

Z	49	64	81	100
P	0.1	0.3	0.4	0.2

X	-1	0	1	2
P	0.2	0.3	0.4	0.1

$Y=X^2$

X	1	0	1	4
P	0.2	0.3	0.4	0.1

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X	0	1	4
P	0.3	0.6	0.1

2.3.2 随机变量函数的分布（连续型）

连续型

分布函数$F(x)=P\{X\le x\}$

​ $F_X(x)=P\{X\le x\}$

​ $F_Y(x)=P\{Y\le x\}$

假设$X$的密度函数是$f_X(x),y=g(x),Y=g(X),$求Y的密度函数

①$F_Y(x)⟶F_X(x)$ 两边求导

②$f_Y(x)⟵f_X(x)$

例：

X的密度函数为$f_X(x),Y=3X+2$

解：

$F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{3X+2\le x\}=P\{X\le \frac{x-2}{3}\}=F_X(\frac{x-2}{3})$

即 $F_Y(x)=F_X(\frac{x-2}{3})$ 两边同时求导可得

​ $f_Y(x)=\frac{1}{3}{f}_x(\frac{x-2}{3})$

​ 特别地,若 $f_X(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{4}& 0\le x\le 4\\ 0& else\end{array}$

则$f_Y(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{12}& 2\le x\le 14\\ 0& else\end{array}$

若$X$服从$[a,b]$的均匀分布，$Y=kX+C(k\ne 0)$服从相应区间上的均匀分布

$k>0$ $f_Y(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{kb-ka}& ka+c\le x\le kb+c\\ 0& else\end{array}$

$k<0$ $$f_Y(x)=\{\begin{array}{rc}\frac{1}{ka-kb}& kb+c\le x\le ka+c\\ 0& else\end{array}$$

例：假设$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$,$Y=aX+b$,$a\ne 0$

解：

$a>0$时

​ $F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{aX+b\le x\}=P\{x\le \frac{x-b}{a}\}=\Phi (\frac{x-b}{a})$

​ $f_Y(x)=\frac{1}{a}\varphi (\frac{x-b}{a})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(\frac{x-b}{a}-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}\frac{1}{a}$

​ $=\frac{1}{\sqrt{2\pi }a\sigma }{e}^{-\frac{(x-(b+a\mu ){)}^2}{2a^2{\sigma }^2}}$ 一般的正态分布的密度函数：$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

所以$X$~$N(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$

$a<0$时

​ $f_Y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }(-a\sigma )}{e}^{-\frac{(x-(b+a\mu ){)}^2}{2a^2{\sigma }^2}}$

综上,$f_Y(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }|a|\sigma }{e}^{-\frac{(x-(b+a\mu ){)}^2}{2a^2{\sigma }^2}}$

在这题里$Y=aX+b$是线性函数，所以他还是服从正态分布

若$Y=\frac{X-\mu }{\sigma }$,$N(0,1)$

定理1：$X$的密度函数为$f_X(x)$，则引入$Y=kX+b,k\ne 0$,密度函数是$f_Y(x)=\frac{1}{|k|}{f}_x(\frac{x-b}{k})$

证：k<0时，$F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{kX+b\le x\}=P\{X\ge \frac{x-b}{k}\}=1-P\{X\le \frac{x-b}{k}\}$因为这里是连续型的，所以可以取等号

​ $=1-F_x(\frac{x-b}{k})$

​ $f_Y(x)=-\frac{1}{k}{f}_x(\frac{x-b}{k})$

k>0时,$f_Y(x)=\frac{1}{k}{f}_x(\frac{x-b}{k})$

综上， f Y ( x ) = 1 ∣ k ∣ f x ( x − b k ) f_Y(x)=\frac{1}{|k|}f_x(\frac{x-b}{k}) fY​<