【数学/多项式】用列表去实现一元多项式函数的四则运算，和它的n阶导数的Python算法实现

目录

前言

一元多项式函数

一元多项式函数的n阶导数

一元多项式函数的加减法

一元多项式函数的乘法

完全代码

运行结果

总结

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前言

     这篇文章将主要讲述如何用代码去实现，初等数学里面的一元多项式环相关的问题，编程所用的语言虽然是Python，但设计代码的思想是不受具体的某一门语言的限制的，我们只要掌握了实现它的核心思想，是很容易就可以将它迁移到另外一门语言的。本篇文章后续将会收录到数值分析方程求解相关问题的专栏里面，在后续接下来的文章，我会介绍一些基础的数学算法在代码上的实现，当我们掌握了这些足够多的数学知识后，我将会叙述如何用代码去寻找这些函数（方程）的近似根。最后一句话送给你们，做学问最忌讳的就是心浮气躁，技术需要时间沉淀，只有放下浮躁的心来，踏踏实实，认认真真地去做一件事，我们才会收获到更有价值的东西。

一元多项式函数

      所谓一元多项式函数就是形如： 

其中，，满足这样的形式的函数我们就称其为，一元多项式函数，用符号简记为F[x]，在开始编程中，这些系数我们可以用一个列表去表示，[]。例如，对于

，我们可以用[1,4,-7,7]去表示该多项式。

     那么我们如何根据列表去计算这个多项式函数在某一点x的值呢？实现代码如下：

def polyf(a0,list,x):
    #a0代表我们要求的是几阶导数，list是多项式的系数列表，x是多项式函数在某一点的值
    y=0    #保存原函数的值
    y1=0   #保存导函数的值
    list1=[]
    n=len(list)

    if a0==0:   #我们首先研究的是它的原函数，这里用a0=0去表示原函数
        for i in range(n):   #用循环去遍历列表中各项多项式的系数，
            y+=list[i]*x**(n-i-1)   #并用y去保存累加后的各项在x的值
        return y   

一元多项式函数的n阶导数

     上诉代码比较好理解，接下来就是我们如何根据多项式的系数列表，去求它的n阶多项式函数在某一点x的值。其实现代码如下：

#代码继上文中的polyf()

    if a0!=0:
        if a0>n-1:   #我们知道对于元素为n的系数列表，其最多有n—1阶导数，
            return   #当a>n-1时，我们直接结束该方法  

        j=0 
        list0=[1 for i in range(n-a0)]    
        for i in range(n-a0):
            while j                 list0[i]*=(n-1-i-j)
                j+=1
            j=0
            list1.append(list[i]*list0[i])   #通过循环计算n阶导函数的系数列表

        y1=polyf(0,list1,x)
        return y1    #得到导函数的系数列表后，我们再次调用polyf()方法，就可以得到导函数在x上的值

一元多项式函数的加减法

     当前面已经介绍了如何通过一元多项式函数的系数列表，去求得它的N阶导数。其中，理解代码中的循环去计算N阶导数的列表属实是不容易的。接下来，我将要介绍如何通过两个多项式系数列表去计算它们的和或差。这里的内容将会比较好理解，相信你也有了一些如何去实现它的思路，其实现代码如下：

def polyring(list1,str,list2):
    list3=[]
    n1=len(list1)
    n2=len(list2)
    l=abs(n2-n1)

    if str=='+' or '-':
        if n1>=n2:     #因为我们操作的两个列表长度有大有小，因此我们需要将其进行分两种情况讨论
            for j in range(l):
                list3.append(list1[j])   #这里我们将高次系数直接插入到list3中，因为它们不需要参与加减法计算

            for i in range(n2):   #对于剩下要参加运算的列表元素，根据条件去判断，是执行“+”还是“-”运算
                if str=='+':
                    list3.append(list1[l+i]+list2[i])
                if str=='-':
                    list3.append(list1[l+i]-list2[i]) #由于append()方法是从列表尾部插入，所以我们必须按元素的顺序进行调用该函数
            return list3 

        else:     #同理，不再论述
            for j in range(l):
                if str=='+':
                    list3.append(list2[j])
                if str=='-':
                    list3.append(-list2[j])
            for i in range(n1):
                if str=='+':
                    list3.append(list2[l+i]+list1[i])
                if str=='-':
                    list3.append(list1[i]-list2[l+i])
            return list3

一元多项式的乘法

     上面我们已经学习到了一元多项式函数的加减法运算，多项式的加减法运算学习起来还是比较轻松的，毕竟好理解多了，相较于一元多项式的n阶导函数的计算。接下来，我们就要稍稍加加速了，下面我将要介绍，一元多项式的乘法。实现代码如下：

#代码继上文中的polyring()
if str=='*':
        array=[0 for i in range(2*max(n1,n2)-1)]
        list3=[]
        i=0;j=0

        if n1>=n2:      
            for i in range(l):  
                list2.insert(i,0)     #将两个多项式列表转化相同的项数来处理

            while i<=2*n1-2:    #外层大循环，列表元素个数为n时，两个同型多项式相乘最多有2n-1项      
                while (i+1<=n1) and (j<=i):
                    array[i]+=list1[j]*list2[i-j]
                    j+=1
                while (i+1>n1) and (j<=(2*n1-2-i)):     #这里根据多项式相乘所得结果的数学结构，分解为两个部分，在分别用循环去求解这两个部分
                    array[i]+=list1[(i-n1)+j+1]*list2[n1-1-j]                                  
                    j+=1
                i+=1;j=0
            

            for i in range(len(array)):
                if array[i]==0:
                    continue
                else:
                    for j in range(len(array)-i):
                        list3.append(array[j+i])
                break
            return list3    #消除列表前面为0的项，即化简该系数列表       
 

        else:   #同理，不再叙述
            for i in range(l):
                list1.insert(i,0)
            while i<=2*n2-2:          
                while (i+1<=n2) and (j<=i):
                    array[i]+=list2[j]*list1[i-j]
                    j+=1
                while (i+1>n2) and (j<=(2*n2-2-i)): 
                    array[i]+=list2[(i-n2)+j+1]*list1[n2-1-j]                                  
                    j+=1
                i+=1;j=0

            for i in range(len(array)):
                if array[i]==0:
                    continue
                else:
                    for j in range(len(array)-i):
                        list3.append(array[j+i])
                break
            return list3  

完全代码

def polyf(a0,list,x):  
    y=0   
    y1=0   
    list1=[]
    n=len(list)

    if a0==0:   
        for i in range(n):  
            y+=list[i]*x**(n-i-1)   
        return y   

    if a0!=0:
        if a0>n-1:  
            return    
        j=0 
        list0=[1 for i in range(n-a0)]    
        for i in range(n-a0):
            while j                 list0[i]*=(n-1-i-j)
                j+=1
            j=0
            list1.append(list[i]*list0[i])   

        for i in range(n-a0):
            y1+=list1[i]*x**(n-a0-i-1)
        return y1    

def polyring(list1,str,list2):
    list3=[]
    n1=len(list1)
    n2=len(list2)
    l=abs(n2-n1)

    if str=='+' or '-':
        if n1>=n2:
            for j in range(l):
                list3.append(list1[j])
            for i in range(n2):
                if str=='+':
                    list3.append(list1[l+i]+list2[i])
                if str=='-':
                    list3.append(list1[l+i]-list2[i])
            return list3 
        else:
            for j in range(l):
                if str=='+':
                    list3.append(list2[j])
                if str=='-':
                    list3.append(-list2[j])
            for i in range(n1):
                if str=='+':
                    list3.append(list2[l+i]+list1[i])
                if str=='-':
                    list3.append(list1[i]-list2[l+i])
            return list3

    if str=='*':
        array=[0 for i in range(2*max(n1,n2)-1)]
        list3=[]
        i=0;j=0
        if n1>=n2:      
            for i in range(l):
                list2.insert(i,0)
            while i<=2*n1-2:            
                while (i+1<=n1) and (j<=i):
                    array[i]+=list1[j]*list2[i-j]
                    j+=1
                while (i+1>n1) and (j<=(2*n1-2-i)): 
                    array[i]+=list1[(i-n1)+j+1]*list2[n1-1-j]                                  
                    j+=1
                i+=1;j=0
            
            for i in range(len(array)):
                if array[i]==0:
                    continue
                else:
                    for j in range(len(array)-i):
                        list3.append(array[j+i])
                break
            return list3             

        else:
            for i in range(l):
                list1.insert(i,0)
            while i<=2*n2-2:        
                while (i+1<=n2) and (j<=i):
                    array[i]+=list2[j]*list1[i-j]
                    j+=1
                while (i+1>n2) and (j<=(2*n2-2-i)): 
                    array[i]+=list2[(i-n2)+j+1]*list1[n2-1-j]                                  
                    j+=1
                i+=1;j=0

            for i in range(len(array)):
                if array[i]==0:
                    continue
                else:
                    for j in range(len(array)-i):
                        list3.append(array[j+i])
                break
            return list3             

#n阶导数在x=19处的取值
list=[9,9,3,5]
a=polyf(3,list,19)
print(a)

#两个多项式列表的加法和减法
list1=[1,0,7]
list2=[19]
list3=polyring(list1,'+',list2)
print(list3)
list3=polyring(list1,'-',list2)
print(list3)

运行结果 

 

总结 

     这篇文章从心有所想到最终定稿总共花了近四天时间，其中也被诸多难点所困惑住，尤其是处理多项式的乘法，和它的n阶导数这两大难题，相信你们也看到了，从那几个循环里面的参数就可以知道，那么我是如何解决的呢？

     其实，主要还是得弄清楚一系列变量和所求数学结果（解）的关系，这里有一个很好的方法去找到这样的关系；众所周知，树形结合万般好，如果问题难以从量的形式入手，那么可以转换为从它的几何结构入手，从这种直观的，形象的几何结构入手，如果其中还存在着某种规律，我们还甚至还可以运用数学归纳法去得到我们想要的结果。（对于多项式的除法问题，这里并没有多少涉及，需要记住一点，如果不需要用到它的导数，则可以直接调用polyf()方法两个式子相除即可。）

     在接下来的几篇文章里，我可能会更新关于另外一些初等函数的算法实现，我同时还有另外一个想法，就是将这篇文章用英文阐述出来，这可是一个不小的工程，当然具体会怎么做，那还是未知的，到时候还是得以具体更新为准。

2022/11/11，浅晚。天无雨，略晴。

于渝·南山