传递函数零极点

1. 概念

系统传递函数经过因式分解可写为：
$$G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots (s-z_j)(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots (s-p_i)(s-p_n)}{k}_1$$
其中，$z_j(j=1,2,\cdots ,m)$为分子多项式等于零的根，称为系统的零点，$p_i(i=1,2,\cdots ,n)$为分母多项式等于零的根，称为系统的极点（也称特征根）。

2. 利用零极点分析系统

1. 系统稳定的充要条件
   系统稳定的充要条件为系统闭环传函的所有极点均为负数或具有负的实数部分。
2. 系统稳定的必要条件
   设已知系统的闭环特征方程为：
   $$a_n{s}^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0=0$$
   要使上述特征方程的所有根均位于$s$左半平面，式中所有的系数需要大于0，即$a_i(i=0,1,\cdots ,n)$。
   基于上述命题，其逆否命题一定成立。即式中的数学不全大于0，则特征方程的根不全位于$s$左边平面，也即系统不稳定。
   所以在分析一个系统是否稳定时，当发现该系统的闭环特征方程中有系数为负数，则不会继续判断，该系统肯定不稳定。
3. 系统稳定的充要条件
   劳斯判据是一种判断系统稳定的充要条件。
4. 稳定度
   上述两个充要条件只能判断系统是否稳定，不能确定系统的稳定程度。如果一个系统的所有特征根均位于$s$，但是均紧靠虚轴，那么这个系统的动态过程就有较大的超调量和缓慢的响应，甚至当系统内部参数的微小变化，都有可能使得系统闭环特征根转移到$s$平面的右半平面，导致系统不稳定。
   基于上述理论，因此系统需要可靠稳定，其特征根需远离虚轴。现有稳定度$a$，应用劳斯判据以$s1=s+a$为变量满足劳斯判据，则系统的稳定度为$a$，系统的特征根均位于$-a$左侧。
5. 根轨迹法
   极点在$s$平面上分布不同，系统的动态特性也不同。
   对于低阶系统来说，可以通过计算的方式直接或者利用劳斯判据研究系统中某些参数对闭环系统瞬态响应的影响。
   对于高阶系统来说，直接计算或者使用劳斯判据复杂易出错，因为可以使用根轨迹法。
6. 闭环零极点与阶跃响应的定性关系
   (1) 要求系统稳定，则闭环极点都必要位于$s$平面左侧。
   (2) 要求系统响应快速性好，闭环极点要远离虚轴。
   (3) 要求系统平稳性好，振荡小，则复数极点最好位于$s$平面中与负实轴成$\pm 45°$夹角附近，所以阻尼比 $\xi =\cos \theta =45°=0.707$。
   (4) 要求尽快结束动他过程，则闭环极点间距大，闭环零极点间距小。
   (5) 离虚轴最近的闭环极点对系统的动态过程起着主要的作用，该闭环极点称为闭环主导极点；但若使一个零点靠近甚至于这个极点相等，则该极点对系统动态的影响就可以忽略不计，此时，系统的动态由下一个离虚轴近的极点决定，而这个极点较上一个极点离虚轴远，所以动态性能就有所提高。其中，零极点接近，构成偶极子。利用闭环主导极点的概念，可以将高阶系统近似按照一阶和二阶系统进行分析。
7. 零极点其他特性
   (1) 增加开环极点一般会使闭环动态性能变差，尤其对稳定性影响较大。
   (2) 增加开环零点对增强系统稳定性、改善系统动态性能有利。
   (3) 开环零点越靠近虚轴，作用越强，对系统闭环动态及稳定性改善越明显。