奇异值分解（SVD）

1. 回顾特征值和特征向量

首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

其中  是一个  矩阵，  是一个  维向量，则  是矩阵  的一个特征值，而 是矩阵 的特征值 所对应的特征向量。

 求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值  ，以及这  个特征值所对应的特征向量 .

那么矩阵就可以用下式的特征分解表示：

                                               

其中W是这n个特征向量所张成的 维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足  ，或者  ，此时W的

n个特征向量为标准正交基，满足  ，即  .

这样我们的特征分解表达式可以写成:  

 注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。

那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：其中U  是一个 m×m的矩

阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异

值，V是一个 n×n 的矩阵。 U和 V都是酉矩阵，即满足,。下图可以很形象的看

出上面SVD的定义：

 那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵 。既然 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

                                          

这样我们就可以得到矩阵 的n个特征值和对应的n个特征向量v了。将的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵 。既然 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

                                         

这样我们就可以得到矩阵的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将 的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了.

由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到:

          

 这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而

 的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

  

 可以看出 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到  的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

                         

这样也就是说，我们可以不用  来计算奇异值，也可以通过求出 的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

  

 首先求出和

 进而求出的特征值和特征向量：

接着求出的特征值和特征向量：

 利用  求奇异值：

 

也可以用 直接求出奇异值为 和1. 

最终得到A的奇异值分解为：