用遗传算法解决VRP问题

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车辆路径问题 （Vehicle Routing Problem，以下简称VRP问题）最早由Dantzig和Ramser于1959年首次提出，是运筹学中一个经典问题。VRP问题主要研究物流配送中的车辆路径规划问题，是当今物流行业中的基础问题。

VRP问题的主要研究对象是以下问题：

有一个配送中心，每天需要向若干配送点配送货物，配送中心有若干辆车可用于配送。已知配送中心和各配送点的位置，请问如何设计配送方案才能让配送效率尽可能高？

该问题是一类物流配送优化问题的典型代表。对以上问题进行不同条件的约束，并设定不同的最优化目标，就得到了不同种类的VRP问题。VRP问题一共有十几种类型，每种类型的求解算法都大不相同。

VRP问题属于NPC问题，目前没有多项式时间复杂度的求解算法。求解VRP问题是一项十分具有挑战性的工作。

拓展资料：

车辆路径问题(MBA智库)

车辆路径问题详解(百度文库)

物流配送问题(百度文库)

什么是P问题、NP问题和NPC问题(Matrix67)

VRP问题简介

根据赛题要求，我们研究的VRP问题模型如下所示。

如图，某地有一配送中心，负责将货物配送到指定的各个配送点。每个配送点有一定的货物需求量，用货物重量表示。配送中心有若干辆车，每辆车有一定的载重量和里程限制，车的载重和行驶里程不可超过指定的值。一辆车可负责一个或多个点的配送任务，且每个配送点只被服务一次。在某一时刻，所有负责配送的车同时从配送中心出发，分别完成各自的配送任务后，再回到配送中心。

根据以上条件，设计一个最优配送方案。对于每个方案，应给出每辆车负责的配送点及其先后顺序。上图显示了一个三辆车的配送方案。

为衡量方案之间的优劣，我们给出如下三个指标：

• 配送总时间 $t$：从配送开始到最后一辆车返回物流中心所经历的时间
• 车辆总里程 $s$：所有配送车辆的里程之和
• 车辆总数 $n$：用于配送的车辆数量

在实际应用中，我们为这三个指标分别分配一个权重 $w_t$、$w_s$ 和 $w_n$，然后用如下公式作为每个方案的得分：
$$score=-(w_t\cdot t+w_s\cdot s+w_n\cdot n)$$
得分越高，说明方案越优。

严格地说，我们要解决的问题是带时间约束和载重约束的VRP问题。这属于VRP问题中较为简单的一种类型。下文提到的“VRP问题”都是指这种类型的VRP问题。

用穷举法求解VRP问题

为了直观地体会VRP问题的难度，这里介绍一下如何用穷举法求解VRP问题。

穷举法的基本思路是：遍历所有可能的配送方案，从中选取得分最高的方案（得分计算方法见上一节）。理论上，穷举法可以找到问题的最优解。

为便于叙述，我们将所有配送点编号为 $1$ 到 $n$ ，将所有车辆编号为 $1$ 到 $m$ 。

配送方案的表示

我们用一个长度为 $n+m-1$ 的整数数组表示（编码）一个配送方案。该数组包含 $1$ 到 $n$ 的全排列和 $m-1$ 个 $0$ 。这 $m-1$ 个 $0$ 将 $1$ 到 $n$ 的全排列分成了 $m$ 段，从左到右第 $i$ 段表示第 $i$ 辆车的配送路线（具体含义请见下面例子）。注意：可能有的 $0$ 是相邻的，或者位于数组两端，这表示某些编号的车不参与配送。

例1：
$$21309476085$$

上面的方案表明：第一辆车服务编号为 $2,1,3$ 的配送点，且顺序为 $2\to 1\to 3$ ；第二辆车服务编号为 $9,4,7,6$ 的配送点，且顺序为 $9\to 4\to 7\to 6$ ，依此类推。

例2：
$$68790541230$$

该方案只用到了两辆车，第一辆车服务 $6,8,7,9$ 号配送点，第二辆车服务 $5,4,1,2,3$ 号配送点，第三辆车不参与配送。

例3：
$$54680031279$$
该方案只用到了两辆车，第一辆车服务 $5,4,6,8$ 号配送点，第二辆车不参与配送，第三辆车服务 $3，1，2，7，9$ 号配送点。

显然，这种编码方式可以表示所有可能的配送方案。

注意，由于载重量和里程约束，以上方法产生的一些方案是不合法的，这里假定程序会在运行时判断方案的合法性。

方案总数的计算

理论上，有了以上表示配送方案的方法，我们就可以写出穷举法的求解程序了。关键步骤如下：

1. 遍历 $1$ - $n$ 这 $n$ 个数和 $m-1$ 个 $0$ 组成的序列的全排列。
2. 计算出每种排列对应的方案的得分，从而得到得分最高的方案。

事实上，我们不会写这个程序，因为即使对于 $n=20$，$m=5$ 这样的小规模数据，程序要枚举的方案数也是天文数字，以下是具体的计算。

$n+m-1$ 个数的排列共有 $(n+m-1)!$ 种，其中有 $m-1$ 个重复的 $0$ ，因此所有可能的方案数如下：
$$\frac{(n+m-1)!}{(m-1)!}$$
当 $n=20$，$m=5$ 时，方案数为：
$$\frac{(20+5-1)!}{(5-1)!}=25852016738884976640000$$
假设我们的计算机一秒钟可以遍历 $10^9$ 种方案（根据普通家用计算机的运行速度），那么要遍历完以上所有的方案需要的时间为：
$$\frac{25852016738884976640000}{10^9\cdot 60\cdot 60\cdot 24\cdot 365}=819762（年）$$
也就是说，即使 $n$ 取很小的数值，穷举法的运行时间也是不可接受的。这种现象称为组合爆炸。

其它穷举法

除了以上方法，VRP问题的穷举法还有如下几种：分支界定法、割平面法、网络流算法、动态规划法等。这些算法对传统的穷举法进行了一些效率上的优化，但还是存在组合爆炸问题。

拓展资料：

车辆路径问题详解(百度文库)

物流配送问题(百度文库)

启发式算法简介

由于组合爆炸现象，即使在问题规模较小时，VRP问题的解空间也十分庞大（解空间就是所有可能方案的集合）。由于穷举法必须要枚举整个解空间才能得出结果，因此利用穷举法来求解VRP问题是十分低效的，即使能够在效率上进行一些改进，也远远达不到当前计算机运算速度的数量级。于是，人们开始思考，是否存在一种算法，能够枚举部分解空间就能得到问题的解呢？显然，如果这种算法存在，那么它不能保证找到最优解。因此，人们将重心转移到如何寻找较优解上。于是，出现了一系列启发式算法。

启发式算法

启发式算法，是一种不同于穷举法的搜索算法。它的主要特点如下：

• 启发式算法不会枚举所有的方案，而是仅仅考察少量的方案就得出结果
• 启发式算法不保证找到最优解，很多时候只能找到较优解

启发式算法在运行时，会根据前面枚举的结果，采用某种策略来选择下一次枚举的方案，使得下一次方案尽量更接近问题的最优解，并在迭代一定次数后停止。由于启发式算法不用枚举整个解空间，因此效率比较高，但是启发式算法采用的搜索策略会对结果的质量产生很大的影响，而搜索策略的制定也主要依靠人的经验。

启发式算法之所以能工作，是由于以下原理：

上一次的搜索结果能为下一次的搜索方向提供有用的信息。

几乎所有启发式算法都使用了以上原理来制定搜索策略。下面介绍遗传算法的时候，将对这个原理有更深入的了解。

VRP问题中的启发式求解算法

目前有许多种启发式算法可以解决VRP问题：C-W节约法、最邻近法、最近插入法、粒子群算法、模拟退火算法、遗传算法……等等。

这些算法的特点各不相同，求解质量也有着很大的差别。效果相对来说较好的算法有粒子群算法、模拟退火算法和遗传算法。

由于遗传算法原理和实现都相对比较简单，效果也比较好，因此我们主要研究用遗传算法求解VRP问题。

拓展资料：

车辆路径问题详解(百度文库)

物流配送问题(百度文库)

遗传算法简介

遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种通过模拟生物进化过程来求解最优化问题的启发式算法。遗传算法的主要理论依据是达尔文的自然选择学说。遗传算法是一种十分通用的搜索算法，可以用来求解多种问题，且效果还不错。

基本概念

首先介绍遗传算法中的几个概念：

• 基因：一个单独的、不可分割的遗传因子。每个基因都决定着个体某一方面的性状。
• 染色体：一组不同基因的线性排列。每条染色体上有多个不同的基因。
• 个体：一个独立的生物体。每个个体都有一条染色体。事实上，很多时候可以用染色体来代表个体。
• 种群：个体的集合。种群中的个体一般具有相同长度的染色体，但是染色体上的基因可能不同。
• 适应度：个体对环境的适应程度。适应度越高，个体对当前环境的适应能力越好，存活的概率也越大。
• 繁殖：旧个体产生新个体的过程。繁殖过程一般包含两个个体的染色体的变异、重组操作（下面会介绍这两种操作）。新个体仍然属于父代种群。
• 选择：随机选择一定数量的种群中的个体，只有被选择的个体保留到下一代，满足适应度越高的个体被选择的概率越大。
• 进化：一个种群经过一轮选择、繁殖操作后，会变成一个新的种群，新种群的个体数量与原种群相同。这个过程被称为“进化了一代”。

自然选择学说

自然选择学说是由达尔文提出的关于生物进化机理的一种学说，讲述的是“物竞天择，适者生存”的自然原理，生物体通过自然选择、基因突变和遗传等规律进化出适应环境变化的优良品种。在环境压力下，适应度高的个体得以保存下来，从而影响整个种群的进化方向。

生物的进化，本质上是基因的优胜劣汰过程。在每轮自然选择中，优良的基因片段有更大的几率保留下来，而劣势基因片段则大概率减少或消失。久而久之，优良基因会在种群中占据主导地位，而劣势基因会逐渐销声匿迹。

自然选择最重要的阶段是遗传变异，这个阶段是产生种群多样性的唯一阶段。遗传变异一般是通过基因突变和基因重组实现的。

• 基因突变：某基因随机变成了另一个完全不同的基因。基因突变可以产生新的基因，新基因表达的性状可能是有益的，也可能是有害的（大多数情况下是有害的）。基因突变是产生种群多样性的主要原因。基因突变发生的概率很低。

• 基因重组：两条染色体的部分片段发生了随机交换。基因重组不会产生新的基因，但是可能将父代的一些优良基因片段集中到子代基因上（当然，也有可能将父代不好的基因片段集中到子代基因上）。基因重组发生的概率也很低，但是比基因突变的概率高。

遗传算法基本流程

遗传算法忠实地复原了生物进化的过程。以下是遗传算法的基本流程：

该流程适用于所有遗传算法，但是对于具体问题应用遗传算法时，需要根据具体问题设计算法中各种遗传操作。

拓展资料：

遗传算法：内存中的进化(科学松鼠会)

有史以来最容易理解的遗传算法(知乎)

用遗传算法求解VRP问题

遗传算法求解的关键是设计个体的存储结构和各种遗传操作的实现。这些细节不仅决定程序实现的难度，也影响着算法最终的执行效果。

为便于叙述，我们将所有配送点编号为 $1$ 到 $n$ ，将所有车辆编号为 $1$ 到 $m$ 。

个体的编码

为方便起见，个体的编码采用与穷举法中相同的编码方案。这种方案简单直观，没有冗余信息，而且可以简化接下来的变异操作，提高程序的运行效率。

个体的生成

利用如下算法随机生成一个个体：

1. 随机生成 $1$ 到 $n$ 的全排列。
2. 在排列中随机插入 $m-1$ 个 $0$ 。

注意：由于载重量和里程的约束，以上算法生成的个体可能是不合法的，因此在第二步分割时需要根据当前车辆的里程和载重进行合理划分，以保证所有生成的个体都是合法的。

初始种群的生成

利用以上算法随机生成 $1000$ 个个体作为初始种群。

适应度计算

个体的适应度根据以下公式计算：
$$fitness=score=-(w_t\cdot t+w_s\cdot s+w_n\cdot n)$$
其中 $score$ 为问题分析中介绍过的得分公式。

选择操作

按照如下步骤对种群进行选择：

1. 对种群中的所有个体按照适应度从大到小排序。
2. 选择前 $50\%$ 的个体（即适应度较大的 $50\%$ 个体）保留到下一代。

执行选择操作后，种群中的个体数减少为原来的一半，后面会通过繁殖操作使种群大小恢复为原来的水平。

变异操作

按照如下步骤对个体进行变异：

1. 随机选定个体数组中的两个元素。
2. 交换两个元素的值。
3. 若变异后的个体不合法，则变异失败，撤销变异操作（即保持个体不变）。

例：
$$21309476085$$
该个体变异后可能产生的新个体如下：
$$21307496085$$
其中 9 和 7 交换了位置，改变了第二辆车配送的顺序。

还可能产生如下的变异：
$$24379106085$$
这次变异交换了 0 的位置，产生了一个新划分。

显然，若个体能成功变异，则经过变异后的个体还是合法的。这种变异算法能够很好地保留父代的大部分特征，同时也有一定的机率产生较大的改变（如上例中的第二种变异情况），可以大大增强种群多样性，提高算法搜索的效果。

交叉操作

如果用传统的交叉算法（即随机交换两条染色体的片段）对个体进行交叉操作，则交叉后产生的新个体不一定是合法的，需要进行调整。为简单起见，这里不对个体进行交叉操作，仅仅通过变异操作产生新个体。

繁殖操作

选择操作后，种群大小变为原来的一半。每次在留下的个体中随机选取一个进行变异操作（若变异失败，则重新选择一个个体），并将产生的新个体插入到种群中，直到种群恢复原来的大小。

算法结束条件

程序会记录每次进化过程中个体的最大适应度。若最大适应度持续 $1000$ 代都无变化，则结束算法，并输出最大适应度对应的方案。

算法执行效果展示

利用以上遗传算法实现的程序能够在较短时间内求解一定规模的VRP问题，且求解质量还不错。以下给出不同规模的VRP问题的求解结果和相关数据。

地图中的红点P表示配送中心，蓝点表示配送点，蓝点旁边的数字表示需求量。

下面是各个问题的相关参数：

问题规模	车辆总数	载重约束	里程约束	权重（$w_t:w_s:w_n$）
10个配送点	$5$	全部为5	$20$	$1:1:1$
20个配送点	$20$	10辆为2，10辆为5	$20$	$1:1:10$
30个配送点	$20$	10辆为2，10辆为5	$20$	$1:1:2$
40个配送点	$20$	全部为5	$20$	$1:10:1$
50个配送点	$20$	全部为5	$20$	$10:1:1$

注：数据中的时间、重量和里程经过单位换算，不代表实际大小，只表示相对大小。

10个配送点

20个配送点

30个配送点

40个配送点

50个配送点

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