GSL中的非线性最小二乘拟合

非线性最小二乘拟合

    本章描述多维非线性最小二乘拟合的函数。求解非线性最小二乘问题一般有两类算法，即行搜索法和信赖域法。GSL目前只实现信赖域法，并为用户提供对迭代中间步骤的完全访问。用户还能够调优一些参数，这些参数会影响算法的底层参数，有助于加快当前特定问题的收敛速度。GSL为非线性最小二乘拟合提供了两个独立的接口。第一个是为小到中等规模的问题设计的，第二个是为非常大的问题设计的，这些问题可能有也可能没有显著的稀疏结构。

头文件gsl_multifit_nlinear.h包含多维非线性拟合函数的原型，以及与小型到中型系统相关的声明。

头文件gsl_multilarge_nlinear.h包含多维非线性拟合函数的原型，以及与大型系统相关的声明。

41.1 概述

    多维非线性最小二乘拟合问题需要n个函数平方残差的最小值，fi，在p参数，xi，

    

     在信赖域法中，目标(或成本)函数Φ(x)用模型函数mk(δ)在某一点xk附近近似。模型函数通常是简单的围绕点xk的二阶泰勒级数展开，即:

 其中，是点xk 上的梯度向量，Bk=∇2Φ(xk)  是xk 上的Hessian矩阵，或者是它的某种近似，而J是n乘p的雅可比矩阵 

 为了找到下一步δ ，我们将模型函数mk(δ)最小化，但是只在我们相信mk(δ)是目标函数Φ(xk +δ)的很好的近似的区域内寻找解决方案。换句话说，我们寻求信赖域子问题(TRS)的一个解。

 其中，∆k > 0为信任域半径，Dk为比例矩阵。如果Dk= I，则信赖域是一个以xk为中心半径∆k的球。在某些应用中，参数向量x可能有很大不同的比例。例如，参数可能是103 K量级的温度，而另一个参数可能是10-6 m量级的长度。在这种情况下，球形信任区域可能不是最佳选择，因为如果Φ沿着一个尺度的方向快速变化，而沿着不同尺度的方向变化更慢，那么模型函数mk在Φ沿着快速变化的方向，可能没有很好的近似。在这类问题中，最好使用一个椭圆信赖域，将Dk设置为一个对角矩阵，其元素的设计使比例步长Dkδ具有近似相同数量级的元素。

上述信赖域子问题，通常相当于求解一个线性最小二乘系统(或多个系统)的步长δ。一旦计算了δ，就检查它是否减少了目标函数Φ(x)。一个有用的统计数据是看比率，

 其中，分子是由于步进δk 引起的目标函数的实际减少量，分母是由于模型mk引起的预测减少量。如果ρk为负，则意味着步进δk 增加了目标函数值，因此被拒绝。如果ρk是正的，那么我们找到了一个简化目标函数的步骤，它被接受了。此外，如果ρk接近于1，则说明模型函数在信赖域内很好地逼近目标函数，以此，在下一次迭代中，信赖域被扩大，以便采取更大胆的步骤。当一个步进被拒绝时，信任区域被缩小，TRS被再次求解。现在可以给出GSL所使用的一般信赖域法的大致过程。

信赖域法

1. 初始化：给定x0，构造m0(δ)， D0和∆0>0

2. 当k = 0,1,2,…

a. 如果收敛，则停止

b. 求解试验步长δk的TRS

c. 通过计算ρk来计算试验步长

1). 如果接受步长，则设xk+1= xk+δk，增加半径∆k+1 = α∆k

2). 如果拒绝步长，设xk+1 = xk，减小半径∆k+1 = ∆kβ ；转到2 (b)

d. 构造mk+1(δ)和Dk+1

    GSL为用户提供了求解2(b)中信赖域子问题的一系列不同的算法，也包括不同的比例矩阵Dk的选择和不同的信赖域半径∆k的更新方法。因此，在提供合理的默认方法的同时，用户可以根据自己的具体问题调整算法的各个步骤。

41.2 信赖域子问题(TRS)的求解

    下面我们描述求解信赖域子问题的可行方法。可用的方法提供了信赖域子问题的精确或近似解。在下面的所有算法中，Hessian矩阵Bk 近似为Bk≈JkTJk ，其中Jk=J(xk) 。在所有的方法中，TRS的解涉及到求解一个包含雅可比矩阵的线性最小二乘系统。对于小到中等规模的问题(gsl_multifit_linear接口)，这是通过将用户提供的完整雅可比矩阵分解为Cholesky、QR或SVD分解来实现的。对于大型系统(gsl_multilarge_nlinear接口)，用户有两个选择。一种是迭代求解系统，而不需要将整个雅可比矩阵存储在内存中。使用这种方法，用户必须提供一个程序来计算给定向量u的矩阵向量乘积Ju或JTu。这种迭代方法对于雅可比矩阵具有稀疏结构的系统特别有用，因此形成矩阵向量乘积的成本很低。对于大型系统，第二种选择包括形成正规方程矩阵JTJ，然后使用Cholesky分解分解它。标准方程矩阵是p乘p，通常比完整的n乘p雅可比矩阵小得多，并且即使完整的Jacobian矩阵不能，通常也可以将其存储在内存中。对于大型、密集的系统，或者迭代方法难以收敛时，这个选项是有用的。

41.2.1 Levenberg-Marquardt

有定理表明，如果δk 是上述信赖域子问题的一个解，则存在µk≥0使，

 用μk(∆k-||Dkδk||)=0 。这构成了Levenberg-Marquardt算法的基础，该算法通过调整参数μk 而不是直接调整半径∆k 来控制信任区域的大小。对于每个半径∆k ，有一个唯一的参数μk 求解TRS，它们之间呈反比关系，大的μk 对应较小的信任区域，小的μk 对应较大的信任区域。

    在每次迭代逼近Bk≈JkTJk 的情况下，为了计算步长δk ，求解以下线性最小二乘问题：

 如果接受步长δk ，则在下一次迭代中减少μk ，以获得更大的步长，否则增加μk ，以获得更小的步长。Levenberg-Marquardt算法提供了信赖域子问题的精确解，但通常每次迭代的计算代价比下面讨论的近似方法更高，因为它可能需要对不同的μk 值求解多次以上的最小二乘系统。

41.2.2 带有测地线加速度的Levenberg-Marquardt

    本方法对标准Levenberg-Marquardt步长δk 应用了所谓的测地加速度修正(Transtrum等，2011)。通过将δk 解释为模型参数空间中沿测地线的一级步长(即速度δk=vk )，测地线加速度ak 是沿测地线的二阶修正，这是通过求解线性最小二乘系统确定的。

 式中，fvv 是残差向量在速度v 方向上的二阶方向导数，fvv(x)=Dv2f=αβvαvβ∂α∂βf(x) ，其中α和β对p参数求和。新的总步长是δk'=vk+12ak 。二阶修正ak 可以用适当的附加成本计算出来，并且已经被证明可以显著减少迭代次数(和昂贵的雅可比矩阵计算)，从而在各种不同的问题上达到收敛。为了利用测地加速度，用户必须提供一个函数，该函数提供第二个方向导数矢量fvv(x) ，或者，用函数f(x + hv)在本库使用限差分方法来估计这个向量，其中h是可调的步长(参见h_fvv参数描述)。

41.2.3 狗腿法

    这是Powell的狗腿方法，它通过将搜索限制在一个分段线性“狗腿”路径上，找到信赖域子问题的近似解，该路径由原点、沿最陡下降方向代表模型最小化的Cauchy点和高斯-牛顿点组成，这是无约束模型的总体最小值。用求解的方法计算高斯-牛顿步长。

     这是每个迭代的主要计算任务，但每个迭代只需要执行一次。如果高斯-牛顿点在信任区域内，则选择它作为步长。如果它在外部，那么该方法计算位于梯度方向的柯西点。如果柯西点也在信任区域之外，该方法假定它仍然远离最小值，然后沿着梯度方向继续，截断信任区域边界处的步长。如果柯西点在信赖域内，高斯-牛顿点在信赖域外，该方法采用狗腿步长，它是梯度方向和高斯-牛顿方向的线性组合，停在信赖域边界处。

41.2.4 双狗腿

    本方法是对经典的狗腿算法的改进，算法试图在迭代距离最小值还很远的情况下包含关于高斯-牛顿步长的信息。当柯西点在信赖域内，高斯-牛顿点在信赖域外时，该方法计算一个缩放后的高斯-牛顿点，然后在柯西点和缩放后的高斯-牛顿点之间走一个狗腿步长。计算缩放比例以确保模型mk的减少量与柯西点提供的减少量大致相同。

41.2.5 二维子空间

    狗腿方法将搜索TRS解限制在由柯西点和高斯-牛顿点定义的一维曲线上。改进的方法是利用柯西和高斯-牛顿方向的全二维子空间来寻找解。狗腿路径当然是在这个子空间内，所以这个方法解决的TRS至少与狗腿方法一样准确。该方法是搜索更大的子空间来寻找解，因此在某些问题上它比狗腿算法收敛更快。由于子空间只有二维，该方法非常有效，每次迭代的主要计算是确定高斯-牛顿点。

41.2.6 Steihaug-Toint共轭梯度

    狗腿法的难点之一是计算雅可比矩阵奇异时的高斯-牛顿步长。Steihaug-Toint方法也计算广义狗腿步，但避免了直接求解高斯-牛顿步长，而是使用迭代共轭梯度算法。该方法在雅可比矩阵奇异点处表现良好，也适用于雅可比矩阵分解代价高昂的大规模问题。

41.3 加权非线性最小二乘法

加权非线性最小二乘拟合使函数最小化

  

 其中W=diag(w1,w2,…,wn)为权重矩阵，||f||W2=fTWf 。权重wi 通常定义为wi=1/δi2 ，其中δi 为第i次测量的误差。简单的变量变换f=W12f 生成Φ(x)=12||f||2 ，其形式与未加权情况相同。用户可以直接对其函数残差和雅可比矩阵执行此转换，也可以使用gsl_multifit_nlinear_winit()接口自动执行正确的缩放。手动进行这个变换，残差和雅可比矩阵需要根据公式进行修改，

 对于大型系统，用户必须执行自己的权重。