动态规划---最大子段和

题目链接：P1115 最大子段和

最大子段和

题目描述

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a$，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 $n$。

第二行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示序列的第 $i$ 个数字 $a_i$。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

样例输出 #1

4

提示

样例 1 解释

选取 $[3,5]$ 子段 $\{3,-1,2\}$，其和为 $4$。

数据规模与约定

• 对于 $40\%$ 的数据，保证 $n\le 2\times 10^3$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 2\times 10^5$，$-10^4\le a_i\le 10^4$。

分析：

考虑是否有重复子问题：
显然求解以j结尾的最大子段和需要用到以(j-1)结尾的最大子段和，存在重复子问题

考虑是否有最优子结构：
考虑最后一步，求1-n的最大子段和，若知道以(n-1)结尾的的最大子段和，那么如果：
以（n-1）结尾的最大子段和大于0，则以n结尾的最大子段和为以（n-1）结尾的最大子段和+A[n]
以（n-1）结尾的最大子段和小于0，则以n结尾的最大子段和为A[n]
所以存在最优子结构

考虑用动态规划来求解问题

状态表示:
f[i]表示以i为结尾的最大子段和

状态转换：
f[i]=max(f[i-1]+A[i],A[i])
若以第(i-1)个数为结尾的最大子段和为负数时，那么以第i个数为结尾的最大子段和就没必要考虑前面的数了(前面最大的情况还小于0，没必要考虑了)

代码如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=2e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int f[N],A[N];

int main(){
    int n;
    int t=-inf;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&A[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=max(f[i-1]+A[i],A[i]);
        if(t<f[i]) t=f[i];
    }
    cout<<t;
    return 0;
}