灰色预测的数学建模总结——摘自《matlab在数学建模中的应用（第二版）》

灰色预测

       灰色系统理论认为：系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是由整体功能的。在建立灰色预测模型之前，需要对原始时间序列进行数据处理，经过数据与处理后的数据序列称为生成列。对原始数据进行预处理，不是寻求它的统计规律和概率分布，而是将杂乱无章的原始数据通过一定的方法处理，变成有规律的时间序列数据，即以数找数的规律，再建立动态模型。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累积两种，通常用累加方法。

       灰色预测通过鉴别系统之间发展趋势的相异程度，并对原始数据进行生成处理来寻求系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，进而预测事务的未来发展趋势。灰色预测的数据是通过生成数据的模型所得到的预测值的逆处理结果。灰色预测是以灰色模型为基础的，在众多的灰色模型中，以灰色系统中单序列一阶线性微分方程模型GM(1,1)模型最为常用。

GM(1,1)基本过程：

（1）原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性，并得到新数据序列x。

（2）对累加序列x建立一阶线性微分方程

（3）对累加生成数据做均值生成B与常数项向量Y

（4）用最小二乘法求解灰参数

（5）将灰参数代入x的一阶线性微分方程，并对其求解

（6）将求解得到的累加序列相邻两项进行离散，并将二者作差以便还原原始序列

（7）对建立的灰色模型进行校验（方式不唯一）：预测值与实际值残差和相对误差；原始数据的均值以及方差；残差的平均值以及残差的方差；残差方差和原始数据方差的方差比；求小误差概率P{|e(t)<0.6745*原始数据方差}

（8）利用模型进行预测：原数列的模拟+未来数列的预测

灰色预测小结

（1）灰色模型的关键部分还是常微分方程，尽管伴随灰色模型的不断发展和进步，在形式上和符号标定方面越来越脱离既有的数学理论体系，不断朝横断学科的方向发展，但是本质是没有变化的。

（2）灰色模型也是一种拟合，就拟合的技术层面来讲并没有是指区别。通常数列在进行一次甚至多次级比（数列错位相除）、累加、累减以及作对数变换等手段处理后，总能表现出明显的规律和趋势，这是灰色模型关键技术之一。

（3）灰色模型操作简易，理论上只要有四个数据便能进行预测。不过深入理解灰色模型的原理是必不可少的，因为没有任何规律的数列不论用任何方法都是不靠谱的。

（4）灰色关联度是一个重要的概念，其应用也非常广泛，需要重点掌握。

（5）灰色模型还有很多，我们学习的知识冰山一角，但是对于数学建模或者工程应用来说已经足矣，更复杂的数据处理可以参考本书中所讲述的其他方法。