Python中范数计算以及numpy矩阵的运算

Python中范数计算以及numpy矩阵的运算

文章目录

  • Python中范数计算以及numpy矩阵的运算
    • 一、范数
      • 1.1 定义:
    • 二、numpy中范数计算
      • 2.1 实际案例
    • 三、numpy矩阵运算
      • 3.1 numpy矩阵加减
      • 3.2 numpy矩阵乘除
      • 3.3 矩阵乘法运算

一、范数

1.1 定义:

​ 范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中,它定义在赋范线性空间中,并满足一定的条件,即①非负性;②齐次性;③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间(或矩阵)中的每个向量的长度或大小。
​ 最常见的范数就是p范数。若 x = [ x 1 , x 2 . . . x n ] T x=[x_1,x_2...x_n]^T x=[x1,x2...xn]T,那么
∥ x ∥ p = ( ∣ x 1 ∣ p + ∣ x 2 ∣ p + . . . + ∣ x n ∣ p ) 1 p \left \| x \right \|_p=(|x_1|^p+|x_2|^p+...+|x_n|^p)^{\frac{1}{p}} xp=(x1p+x2p+...+xnp)p1
​ 当$p=1,2,\infty $时分别是以下集中情况:

∥ x ∥ 1 = ∣ x 1 ∣ + ∣ x 2 ∣ + . . . + ∣ x n ∣ ∥ x ∥ 2 = ( ∣ x 1 ∣ 2 + ∣ x 2 ∣ 2 + . . . + ∣ x n ∣ 2 ) 1 2 ∥ x ∥ p = m a x ( ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , . . . , ∣ x n ∣ ) \left \| x \right \|_1=|x_1|+|x_2|+...+|x_n|\\ \left \| x \right \|_2=(|x_1|^2+|x_2|^2+...+|x_n|^2)^{\frac{1}{2}}\\ \left \| x \right \|_p=max(|x_1|,|x_2|,...,|x_n|) x1=x1+x2+...+xnx2=(x12+x22+...+xn2)21xp=max(x1,x2,...,xn)
常用的三种范数的范数矩阵:

​ 1范数:列和范数,每一列元素之和的最大值。
Python中范数计算以及numpy矩阵的运算_第1张图片
​ 2范数:谱范数,矩阵中所有元素平方和开根号。

Python中范数计算以及numpy矩阵的运算_第2张图片
∞ \infty 范数:行和范数,每一行之和的最大值。
Python中范数计算以及numpy矩阵的运算_第3张图片

二、numpy中范数计算

1)基本语法:

np.linalg.norm(x,ord=None,axis=None)	# x代表矩阵,ord代表范数类型
参数 范数类型
ord=2或None 二范数
ord=1 一范数
ord=np.Inf 无穷范数

2)axis为处理方向:

  • axis=1时表示按行向量处理,求多个行向量的范数
  • axis=0时表示按列向量处理,求多个列向量的范数。

2.1 实际案例

案例一:对矩阵求范数

import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print("矩阵:",a)

a1=np.linalg.norm(a,ord=1)
print("第一范式:",a1)
a2=np.linalg.norm(a,ord=2)
print("第二范式",a2)
a3=np.linalg.norm(a,ord=np.Inf)
print("无穷范式",a3)

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案例二:对矩阵的行向量求范数

import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print("矩阵:",a)

a1=np.linalg.norm(a,ord=1,axis=1)
print("第一范式:",a1)
a2=np.linalg.norm(a,ord=2,axis=1)
print("第二范式",a2)
a3=np.linalg.norm(a,ord=np.Inf,axis=1)
print("无穷范式",a3)

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案例三:对矩阵的列向量求范数

import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
print("矩阵:",a)

a1=np.linalg.norm(a,ord=1,axis=0)
print("第一范式:",a1)
a2=np.linalg.norm(a,ord=2,axis=0)
print("第二范式",a2)
a3=np.linalg.norm(a,ord=np.Inf,axis=0)
print("无穷范式",a3)

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三、numpy矩阵运算

​ numpy矩阵之间的四则运算,根据两矩阵之间的各个元素一一对应进行。例如:
[ 1 2 3 4 5 6 ] + [ 1 2 3 ] = [ 2 4 6 5 7 9 ] \begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 &4 &6 \\ 5 &7 &9 \end{bmatrix} [142536]+[123]=[254769]
​ 如果说要进行线性代数中矩阵相乘需要调用包中的.dot方法进行运算。

3.1 numpy矩阵加减

import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b=np.array([2,2,2])
print("两矩阵相加:\n",a+b)
print("两矩阵相减:\n",a-b)

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3.2 numpy矩阵乘除

import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b=np.array([2,2,2])
print("两矩阵相除:\n",a/b)
print("两矩阵相乘:\n",a*b)

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3.3 矩阵乘法运算

import numpy as np
a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
c=np.array([[2],[2],[2]])
print("矩阵乘法运算\n",np.dot(a,c))

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