单纯形法python_运筹系列1：线性规划单纯形法python代码

1. 模型

常见的线性规划模型如下：

max z=cx z = c x

s.t. Ax=b A x = b

2. 求解步骤

假设B是基变量集合，通过矩阵的线性变换，基变量可由非基变量表示：

x′i=ci+Σj∉Bmi,jx′j,(i∈B) x i ′ = c i + Σ j ∉ B m i , j x j ′ , ( i ∈ B )

目标函数z也可以完全由非基变量表示：

z=z0+Σj∉Bcjx′j z = z 0 + Σ j ∉ B c j x j ′

当达到最优解时，目标函数中所有的系数c≤0，这样非基变量等于0时，目标函数可以取到最大值。以此为目标，每次将最大的正系数max{cj c j }对应的非基变量替换为基变量，同时将min{bj/ai,j b j / a i , j }对应的基变量替换为非基变量。这个进基/出基的过程称为pivoting。

3. python算法实现

这里假设原问题都是小于等于约束，这样添加松弛变量之后，问题一定有初始可行解；同时假设问题存在有限最优解。特殊情况将在下一节进行处理。代码为：

import numpy as np

def pivot():

l = list(d[0][:-2])

jnum = l.index(max(l)) #转入编号

m = []

for i in range(bn):

if d[i][jnum] == 0:

m.append(0.)

else:

m.append(d[i][-1]/d[i][jnum])

inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0])) #转出下标

s[inum-1] = jnum

r = d[inum][jnum]

d[inum] /= r

for i in [x for x in range(bn) if x !=inum]:

r = d[i][jnum]

d[i] -= r * d[inum]

def solve():

flag = True

while flag:

if max(list(d[0][:-1])) <= 0: #直至所有系数小于等于0

flag = False

else:

pivot()

def printSol():

for i in range(cn - 1):

if i in s:

print("x"+str(i)+"=%.2f" % d[s.index(i)+1][-1])

else:

print("x"+str(i)+"=0.00")

print("objective is %.2f"%(-d[0][-1]))

调用的例子：

d = np.loadtxt("data.txt", dtype=np.float)

(bn,cn) = d.shape

s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表

solve()

printSol()

data.txt文件中的内容为：

1 14 6 0 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 4

1 0 0 0 1 0 0 2

0 0 1 0 0 1 0 3

0 3 1 0 0 0 1 6

代表的求解模型是：

max z=x0+14∗x1+6∗x2 z = x 0 + 14 ∗ x 1 + 6 ∗ x 2

s.t.

x0+x1+x2≤4 x 0 + x 1 + x 2 ≤ 4

x0≤2 x 0 ≤ 2

x2≤3 x 2 ≤ 3

3∗x1+x2≤6 3 ∗ x 1 + x 2 ≤ 6

运行后输出结果为：

x0=0.00

x1=1.00

x2=3.00

x3=0.00

x4=2.00

x5=0.00

x6=0.00

objective is 32.00

4. 写后感

将simplex用代码写出来，才觉得以前纠结那么久的问题原来那么简单。两三行代码能说清楚的事，何必写一堆看得人眼花缭乱的数学公式呢。

另外，线性规划还有一些很基础的理论要掌握好：

1. 极点和极方向的理论，这个是单纯型法的理论基础。可以参考这里

2. 对偶理论，这个在以后经常会用到。