LeetCode-799. 香槟塔【动态规划，滚动数组】

题目描述：

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 1 个玻璃杯， 第二层 有 2 个，依次类推到第 100 层，每个玻璃杯 (250ml) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.00000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:
输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1
输出: 0.50000
解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17
输出: 1.00000

提示:

0 <= poured <= 10^9
0 <= query_glass <= query_row < 100

https://leetcode.cn/problems/champagne-tower/

解题思路一：动态规划，从最高层dq[0][0]开始如果大于1则分流，平分给下一层的两个杯子，依次初始化二维数组。由于0 <= query_glass <= query_row < 100，初始化的数组只要大于100即可。

class Solution {
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        vector<vector<double>> dq(101,vector<double>(101,0.0));
        dq[0][0]=poured;
        for(int i=0;i<=query_row;++i)
            for(int j=0;j<=i;++j)
                if(dq[i][j]>=1){
                    double rest=dq[i][j]-1;
                    dq[i][j]=1;
                    dq[i+1][j]+=rest/2;//记得是+=
                    dq[i+1][j+1]+=rest/2;
                }
        return dq[query_row][query_glass];
    }
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)两层for循环，其中 n为层数，即 query_row。

解题思路二：滚动数组，我们只需要记录query_row的那一层即可，可以节省空间。

class Solution {
public:
    double champagneTower(int poured, int query_row, int query_glass) {
        vector<double> row = {(double)poured};//给第一个数值初始化
        for (int i = 1; i <= query_row; i++) {
            vector<double> nextRow(i + 1, 0.0);
            for (int j = 0; j < row.size(); j++) {
                double volume = row[j];
                if (volume > 1) {
                    nextRow[j] += (volume - 1) / 2;
                    nextRow[j + 1] += (volume - 1) / 2;
                }
            }
            row = nextRow;//动态更新，滚动数组
        }            
        return min(1.0, row[query_glass]);
    }
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n)其中 n为层数，即 query_row。

解题思路三：0