利用python做线性规划
我最近在研究一个问题的解决方案时，找到了一种基于最优化理论的方法。即通过「定义目标函数」—「给出约束条件」—「找到最优解」的流程找到问题的答案。由于目标函数中存在二次项，且变量从{0,1}中取值，因此，该问题属于目标函数中含有二次项的混合整数规划问题，简称MIQP（mixed integer programs with quadratic terms in the objective function）。
老实讲，我已经把原本就学得不是很好的运筹学知识全部还给老师了，现在能记住的，除了「分支定界」、「模拟退火」等少数几个算法的名称外，就只剩下课本黄色的封皮了。于是，趁着这个机会，我查了一些资料，首先解决「怎么用」的问题，然后再研究如何去优化。
1、利用Pyomo来进行建模
1.1 Pyomo简介
在学生时代，用的最多的工具非MATLAB莫属了，由于集成了各种工具箱，它的功能确实非常强大。不过，我所寻找的解决方案（如果成功验证后）是要集成到产品中去的，在软件许可方面可能会遇到问题。随着开源软件的崛起，一些优秀的项目在性能和易用性等方面已经不输商业软件了。因此，为了实现这个方案，我的第一想法就是搜索看是否有用python开发的解决方法。
接下来就发现了Pyomo这个软件包。从其主页描述可以知道，它可以用来定义、求解和分析各种优化问题的模型。包括：
- 线性规划
- 二次规划
- 非线性规划
- 混合整数线性规划
- 混合整数二次规划（这个就是我的场景）
- 混合整数非线性规划
更多支持问题的类型，可以从主页获取。
需要注意的是，上面说的定义模型，指的是Pyomo有一套自己的语言来将数学中用各种符号描述的优化模型程序化，从而使之符合python的语法要求；而求解实际上是利用了第三方的解算器。也就是说，Pyomo本身不具备求问题解的功能，而是定义了一套规范，并调用其他的解算器来求解。
我理解的这样做的好处在于，不同的解算器有着不同的使用方法，而Pyomo对这些接口进行了规范化，从而使用户更关注于模型本身；此外，python代码所具备的高可读性，也更容易让人将数学模型转化为代码脚本。
1.2 Pyomo安装
可以使用conda或者pip来进行安装，与安装其他的第三方python包并无区别。
强烈建议在安装前先创建一个干净的虚拟环境，这对于包的管理是非常方便的。特别是——在后面会看到——对于这种会利用其他第三方软件包（解算器）的软件包！
1.3 示例
直接给出官网的一个简单示例：
利用Pyomo对上述问题进行的代码如下，我对每一行进行了注释：
import pyomo.environ as pyo
# 创建一个模型实例
model = pyo.ConcreteModel()
# 向模型实例添加变量，x是变量组成的向量，维度是2，并且，每个变量都是非负实数
model.x = pyo.Var([1, 2], domain=pyo.NonNegativeReals)
# 向模型实例添加目标函数，目标函数是由向量中的各个变量与其系数组成
model.OBJ = pyo.Objective(expr=2 * model.x[1] + 3 * model.x[2])
# 添加约束，由于在添加变量的时候已经指定了非负实数，因此，这里的约束条件只剩下一个了
model.Constraint1 = pyo.Constraint(expr=3 * model.x[1] + 4 * model.x[2] >= 1)
模型构建好了以后，接下来就是调用解算器进行求解了。这一步只需要两行代码：
opt = pyo.SolverFactory('glpk')
opt.solve(model)
第一行，实例化了一个解算器，并指定了利用“glpk”这个解算器；第二行，调用解算器的solve方法，对模型进行求解。
前面提到，解算器是需要额外安装的。因此，如果不在环境中安装“glpk”这个解算器，那么上述代码是会报错的，所以，需要首先安装glpk。
glpk是一个开源软件，用于解决大规模的线性规划、混合整数规划等问题。可以直接利用conda进行安装：
conda install glpk
安装完成后，上述代码就可以成功运行。求解完成后，我们可以通过下述代码获取到最优解：
print('x1: ', pyo.value(model.x[1]))
print('x2: ', pyo.value(model.x[2]))
打印的内容：
x1: 0.333333333333333
x2: 0.0
1.4 总结
从上面的过程可以看出，利用Pyomo求解的基本过程就是：「建立模型」—「调用解算器」—「得到结果」。针对不同类的问题，建模的过程会有所不同。
2、解算器
上面提到的“glpk”是解算器的一种，但它仍有一定的限制：
- 不能解决非线性规划问题
- 与商业的解算器相比仍有一定的性能差距
为了解决我的问题，必须寻求其他的解算器，在参考的论文中，作者使用的是GAMS平台的CPLEX解算器。
CPLEX是IBM推出的一款用于构建和求解大规模、复杂的优化模型的产品。准确来说，产品的名称是：IBM ILOG CPLEX Optimization Studio，分为试用版和付费版两种。按照国外产品一贯的行为标准，试用版对问题规模有限制，付费版没有限制可价格很贵。这里我使用的是试用版。
实际上，完全可以把我的模型用IBM的产品写出来（即不用python），但这样的话发布可调用的API就成了一个问题。所以，我还是选择用Pyomo写模型，然后调用IBM的求解器。
不过我找了一圈，貌似没有直接的CPLEX求解器文件可供下载，这也是可以理解的，毕竟人家是一个完整的产品，不太可能将产品的零部件拆出来供人下载。所以，要想利用这个求解器，就得先安装整个试用版的软件，然后从软件安装目录里把求解器模型找到。
我用的是mac，安装好之后，求解器文件的位置是：/Applications/CPLEX_Studio_Community201/cplex/bin/x86-64_osx，其中有一个cplex的可执行文件，这就是我们要找的模型文件了，将其拷贝出来，然后在代码中指定好位置即可，像下面这样：
opt = pyo.SolverFactory('cplex', executable='/path/to/models/cplex')