一文读懂傅里叶变换的几何解释

目录

1. 简介

2. 两个频率

 3. 时频变换 

4. 傅里叶变换

5. 傅里叶变换应用 

5.1 音频处理 

5.2 图像处理

总结

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我读硕士的时候就一直搞不清楚图像处理里基于傅里叶变换的时频计算到底是个什么东西。我只是模糊的知道傅里叶离散变换公式，可以将灰度图对应到频域中，然后做一些操作，滤掉一些信息，然后反向映射回时域，似乎有一些效果，比如模糊，锐化等等。又比如，我知道傅里叶变换的一些基本观点，如波的叠加以及周期性的计算可以表示各种信息，如图像、声音等。傅里叶变换的目标就是把信息分解为频率清楚的波。可是，它背后的原理是什么，这种变换是否有直观的解释？直到我在B站上学习了2Blue1Brown频道的双语课程，介绍了傅里叶变换的几何解释，让我豁然开朗。我决定基于2Blue1Brown的课程讲解，在这篇博客中简单谈谈傅里叶变换的几何解释，帮助我巩固知识，同时也希望帮助哪些想深入理解傅里叶变换的同学，快速入门。 

详细视频课程请浏览2Blue1Brown课程：【官方双语】形象展示傅里叶变换_哔哩哔哩_bilibili

部分内容参考自博客：图像的傅里叶变换_ShaneHolmes的博客

图1. 傅里叶变换波的分离（截取自2Blue1Brown视频）

1. 简介

相信大家读任何一本信号处理方面的教材，都会接触到傅里叶变换。傅里叶变换的输入和输出是比较容易理解的，背后的基本逻辑也是清楚的。一组信号，通过傅里叶变换，能够被分解为一组规则的正弦或余弦函数，从几何来看，就是将一条曲线分解为一组正弦曲线或余弦曲线。通过分解后的信号，对需要处理的部分设计特定的算法将变得比较容易，实现滤波，加强，重建等操作。但是，让人真正困惑的是时域与频域的概念理解以及傅里叶变换中间过程的具体意义。我们经常看到一些关于傅里叶变换的相关资料，都在谈时频变换，一般来说，信号直观的表示在时域，经过计算的表示在频域，那么时域的时到底是什么意思，频域的频代表什么频率？更让人感到神奇的是，为什么一段信号能够经过傅里叶变换，使之从时域变换到频域，进而实现对信号的分解。这个过程的机制是什么，有什么几何意义？我们将在下一段展开来介绍下傅里叶变换的几何解释。

2. 两个频率

在介绍傅里叶变换之前，我们首先要引入两个频率的概念，即节拍频率（信号频率）和绕圆频率。节拍频率直接针对于信号，即原始的波，如图2所示。节拍对应一秒内所对应的波的信号，这里为了方便理解，原始信号是一个类余弦函数。一秒时间正好对应三个波动脉冲，即一秒三个节拍。

图2. 节拍频率，每秒包含三个完整的节拍

这样，一段信号根据节拍频率，就有一个时间轴与之对应，这就是时域中“时”的几何意义。之后，也是傅里叶变换核心思想最重要的一点，就是按照时域的节拍，将信号缠绕在一个圆上，缠绕过程如图3表示。你可以把信号对应的曲线想象成一组金属丝，将其缠绕在一个圆上。时域的坐标轴对应圆的边。

 图3. 节拍频率，每秒包含三个完整的节拍 

在这个缠绕的圆上，曲线与原始的信号余弦曲线有对应关系。如果我们设置一个向量，该向量表示在原信号随x轴递增的y轴坐标变换。按照该向量长度的变化，将其在时间轴的位置对应在圆的位置，那么向量随着时间轴（x轴）的推动，其末端在圆上就会画出一个图案，如图4所示：

 图4. 向量随时域的位置变化以及在圆上的画像

向量移动的速度决定了绕圆频率，即需要多长时间该向量环绕圆上一周。图5展示了改变绕圆频率，其对应的圆上画像会产生一些变化。  

 图5. 绕圆频率对圆上向量画像的的影响。第一行：1.23圈/秒；第二行：0.5圈/秒

到这里我们解释了两个重要频率的几何意义。接下来，我们将基于两个频率来解释时频变换概念。

 3. 时频变换 

我们假设在圆上的像是有质量的，即像金属丝。当我们改变绕圆频率的时候，圆上的像也会随之变换，金属丝对应的质心的坐标也会发生改变，如图6所示：

图6. 向量画像(金属丝）质心随着绕圆频率的变化而变化。当两个频率实现同频，即第二行的情况，那么质心到中心的偏离则十分明显。 

大部分情况下，质心都是围绕在圆的原点附近震荡。但是，当产生同频的时候，由于金属丝对应的类余弦函数与绕圆频率产生同频，即节拍频率与绕圆频率重合，使得绕圆的向量画像更偏重于圆上的一侧，进而使得质心显著的偏移原点。我们计算质心在x轴的抖动，记录其与原点的坐标差（带有方向），将其映射到一个新的坐标系，记录这种抖动的几何成像，如图7所示：

图7. Frequency记录了质心的偏移量与时域的对应。

质心在圆上x轴抖动所生成的新的波，即由时域向频域的转换。频域在几何上刻画了原始信号在绕员频率变换的情况下，其对应圆上的质心抖动。在频域中，我们可以看到有一个明显的突起。这个突起就是图6展示的同频结果，即当节拍频率与绕圆频率统一时候的质心偏移。傅里叶变换与上面的时频变换已经非常相近了。试想将两个不同频率的波做混合，如图8所示：

 图8. 两个不同频率的波的混合。

依然按照时频变换的想法，我们将混合的波进行质心求解，会明显的发现在频域我们得到了两个同频信号，如图9所示。 

 图9. 两个不同频率的波在频域中的同频显示。频域的波峰刚好对时域混合波的两个分解波频率。

神奇的是，当我们在时域对波进行叠加时，对应的频域即会产生波的累加。时域与频域的计算建立了基于频率的一对一的对应关系，如图10所示。  

图10. 时域的波的叠加，可以直接与频域波峰的计算相对应。

请回看图1。我们利用时频变换，就能够把混合的波进行分解，每一个分解的波对应在频域中的一个波峰。这样，我们就能够直接获得类似图1的波的分解。由衷的赞叹，这就像魔法！

4. 傅里叶变换

时频变换是傅里叶变换的基石。了解时频变换的基本概念，基本就搞清楚了傅里叶变换的基本原理。根据时频变换，我们将展开对傅里叶变换的介绍。在时频变换中我们只是考虑了质心在x轴方向的抖动。实际上，质心的变化是可以从两个坐标来描述的。这里我们引入复平面概念。复平面能够非常好的描述与绕圆相关的计算，如欧拉公式：

欧拉公式中，对应复部x为绕员的参数，也可以表示为角度。如x为6.28，即2pai，刚好表示绕圆一周。 图11展示欧拉公式的几何表示。

图11. 欧拉公式的几何表示，这里的单指的是对应pai的数值，如3.14即pai，2为2/3.14pai。

欧拉公式用来描述一个旋转与时间的表示，即e^{2πit}，t表示时间，t为1时，表示1秒转1圈。这里，我们将原始的信号表示为时域上的函数g(t),可以直观的理解为在时域上向量的长度。当我们用g(t)乘以e^{2πit}，刚刚好描述了时频变换过程中，向量画像的过程，如图12所示。

图12. 时频变换绕圆画线使用g(t)*e^{2πit}表示的效果。f为控制参数，与t可以组合来看。

基于g(t)*e^{2πit}，我们将其用于表示质心偏移追踪的数学模型，这里通过求积分，然后求平均，就能够得到求质心的方程。时间为t1-t2。

这个方程表示已经与最后的傅里叶变换方程非常接近了，只是去掉了前面参数项，即：

在几何上，就是绕圆画像被按照时间放大了。让我们看看维基百科关于傅里叶变换的方程：

对应我们今天学习的内容，你可以清楚的知道这个积分里面的每一项的几何意义。 

5. 傅里叶变换应用 

5.1 音频处理 

想象这里由一段音信信号，里面混杂了一个高频噪音。通过傅里叶变换，我们得到一个频域表示的信号，然后直接把希望删除的高频，直接平滑掉就OK了，如图11所示。

 图11. 经过傅里叶变换后，在频域删除了高频，进而得到净化音频的作用。

5.2 图像处理

图像处理是把一维傅里叶变换推广到二维，基于时频变换的几何解释，我们可以清楚的知道下面的公式到底做了什么工作：

当我们把图像变换到频域后，通过选择删除一些区域，并保留部分信息，进而使得对应的图像信息发生变换。该特性类似在音频中的应用，也可用于图像去噪。图12展示了一个图像去噪的示例。

 

 图12. 在频域去噪后的结果。

总结

傅里叶变换是信号处理领域一个非常重要的概念，在计算机图像处理与音频处理都有非常重要的应用。通过这篇博客的介绍，相信对希望学习傅里叶变换的同学能够提供一些启发意义。最后，再次真诚感谢 2Blue1Brown所制作的精彩内容。他们的频道还有很多有关数学基本概念的精彩讲解，也欢迎各位有兴趣的同学可以订阅学习。