高斯滤波器理解

高斯滤波器是空间滤波器的一种，学习高斯滤波器，需要空间滤波的知识作为先验知识（各种数字图像处理的书中都有介绍，冈萨雷斯的经典教材说的还是比较清楚的，建议看英文版，个人感觉比翻译过来的更容易理解）。

高斯滤波的模板是用高斯公式计算出来的。下面是一维和二维高斯分布函数及其函数图像：
一维高斯分布函数：

二维高斯分布函数：

它们的图像分别为：


那么高斯滤波模板是怎么生成的呢？是通过二维高斯函数计算出来的。例如，我们假设一个高斯模板的长、宽均为5，方差为0.5，那么首先，我们要在模板上建立一个坐标系，其原点就是高斯模板的中心点，如下图：

然后每个模板的坐标就可以确定了：

每个格子对应的坐标，就是二维高斯分布中的（x，y）坐标的值。现在，我们可以计算出高斯模板上每个坐标位置的系数了。例如：
（-2,2）上的权值：W = ，把pi = 3.14， σ=0.5，x=-2，y=2带入上式，获得（-2,2）处的权值。
同理，可以计算 其他位置的权值。
最后获得一个5*5，标准差σ为0.5的高斯滤波器（经过归一化以后）：

matlab中可以使用fspecial函数实现高斯滤波模板，使用方法为：YourFilter = fspecial(‘gaussian’, [ 5 5], 0.5);
在matlab中可以查看fspecial的源代码，通过open fspecial打开。我之前自己写了一个matlab版的实现高斯模板的代码，通过与fspecial的源代码对比，有些不一样的地方，而且我的代码确实不如自带的快，所以在这里只贴源代码。
fspecial函数可以实现多种类型的滤波器，当第一个参数为"gaussian’时，实现的是高斯滤波器，源代码通过switch判断用户想得到哪种类型的滤波器，这里只把与高斯滤波器有关的代码贴出来，并放在一个函数中，我们把这个函数命名为gaussianFilter。函数的代码如下：

function h = gaussianTemplate2( p2, p3 )
%p2是模板的大小，以[m n]的形式定义
%p3是标准差，即σ
%h是输出的高斯模板
%以下代码是从fspecial中贴出来的代码

siz   = (p2-1)/2;           %siz为模板行与列各自最大的坐标值  
std   = p3;                 %标准差幅值给std  

%通过meshgrid产生模板上所有位置的x和y的值，这样的好处是可以避免使用循环去  
%变换坐标值，提高程序运行的速度  
[x,y] = meshgrid(-siz(2):siz(2),-siz(1):siz(1));  
  
%二维高斯分布公式中e的指数  
arg   = -(x.*x + y.*y)/(2*std*std);  

%这里没有乘以1/2*pi*σ^2，也就是没有乘以e前面的系数，因为后面在作归一化的  
%时候，会把这个系数约去，所以在这里直接省去乘法运算，提高程序运行速度  
h     = exp(arg);  
  
%这句话没有太理解，貌似只有在max(h(:))大于1的时候h才有可能小于eps*max(h(:))  
%个人理解应该是限制一下h中的权值，如果权值相对于h中的最大值特别小的话，可以  
%忽略不计，使之为零  
h(h

获得高斯模板后，使用imfilter函数对图像进行滤波，即可获得高斯滤波效果。下面我们使用不同的高斯滤波器，对同一幅图像进行滤波，滤波的结果如下所示：
原始图像：

加入高斯噪声图像：

使用55，方差为0.5的高斯滤波器滤波：

使用55，方差为1.5的高斯滤波器滤波：

使用11*11，方差为0.5的高斯滤波器滤波：