利用层次分析法对熵权法进行修正

1. 背景

        在求解评价类问题时，构建合理的指标权重是得到一个合理结果的重要前提。

        确定指标权重的方法大致可以分为两类：以层次分析法为代表的主观定权法，和熵权法、变异系数法等客观定权法。在评价类问题中比较常用的是客观定权法，特别是熵权法。

        层次分析法相对冷落的主要原因是它含有比较强的主观成分，这在很多情况下对问题求解是不利的，但有时这种主观性能够让我们进行人为干预。

        我们知道，即使是客观定权法，得到的权重也不是绝对合理的。例如熵权法，得到的权重向量事实上并不等同于指标的重要程度，它更多是从信息熵的角度衡量指标含有的信息量多少。

        举个简单的例子，我们希望选出一队数学成绩最优秀的学生去参加全省数学竞赛，但候选队员的数学成绩差距很小，于此同时他们的英语成绩差距较大，如果单纯使用客观定权法，很可能得到的结果中英语成绩占有较大比重。但是这样的结果是不合理的，哪怕英语能力差距再大，也不应该动摇数学能力这一指标的绝对重要性！

        导致这种情况出现的原因之一往往是指标重要性差距很大，使得客观定权法没法得到好的结果。此时就需要引入层次分析法进行调整。

2. 处理方法

        处理方法参考的是2021国赛C题一等奖的一篇论文。

        处理步骤：

        ①在原有指标的基础上构建二级指标。

        ②利用层次分析法求得二级指标对于目标层的权重wi。

        ③对于每个二级指标下属的一级指标，按照它们原先权重的比例分配上级指标的权重。

2.1 二级指标的构建

        其中二级指标的构建需要对原指标进行一些总结概括。如下图国一论文中的处理，第三行是原指标，第二行是构建出的二级指标。

         关于层次分析法、二级指标等内容如果不太熟悉可以参考这篇：

[评价体系] 2、层次分析法AHP原理、例题_禾木页的博客-CSDN博客_层次分析法二级指标

2.2 层次分析法求二级指标权重

        给出3个二级指标的判断矩阵之后，计算出权向量，如下图所示。

        并据此给出修正前后的指标占比。 

        按照给出的权重，我在excel中进行了下复现。 

        第二行为原始权重，即修正前的权重。第三行为修正后的权重。其中前4列隶属于同一二级指标，中间3列隶属于第二个二级指标，最后2列隶属于第三个二级指标。

        可以看到，修正后权重的计算方式是用二级指标权重（0.4）乘上一级指标在二级指标下的占比（B2 / SUM），由于保留了一部分有效数字，结果有细微差别，但总体结果是一致的。

        对比修正前后的权重，两者的差别还是很大的，可见层次分析法的修正效果明显。