线性代数复习CH1:行列式

note:本复习资料是用于保研的数学类科目学习,很基础的一些定义性质没有列出,强烈推荐山大线代慕课秦静教授主讲,考试和保研复习都够用了。

1.行列式

1.1 行列式的概念

∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 \left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right| =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a21a12a22 =a11a22a12a21

行列式其实就是速记的符号。

  • 二阶对角线的法则
  • 三阶行列式的对角线法则

1.2 n阶行列式的定义

代数余子式的概念:(余子式的概念)
D = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 类似的有 D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + a i 3 A i 3 , i = 1 , 2 , 3. 或 D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + a 3 j A 3 j , j = 1 , 2 , 3 A i j 称为元素 a i j 的代数余子式 D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\\ 类似的有D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3},i=1,2,3.\\ 或D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j},j=1,2,3\\ A_{ij}称为元素a_{ij}的代数余子式 D=a11A11+a12A12+a13A13类似的有D=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3,i=1,2,3.D=a1jA1j+a2jA2j+a3jA3j,j=1,2,3Aij称为元素aij的代数余子式
n阶行列式的定义:

余子式 M i j M_{ij} Mij
D = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n 或 D = a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + . . . + a m j A m j D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}或D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{mj}A_{mj} D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAinD=a1jA1j+a2jA2j+...+amjAmj

1.3 特殊行列式的计算

  • 对角行列式

    D = a 11 a 22 . . . a n n D=a_{11}a_{22}...a_{nn} D=a11a22...ann为主对角线元素的乘积

  • 上三角和下三角行列式

    行列式值为对角线元素的乘积

  • 斜三角行列式

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1.4 行列式的计算

1.4.1 性质

D = D T D=D^T D=DT

由行列式的性质知成立

  • 互换两行,行列式变号

    推论:若有两行完全相同,那么行列式为0

  • a j 1 A i 1 + a j 2 A i 2 + . . . + a j n A i n = { D , ( i = j ) 0 , ( i ≠ j ) a 1 j A 1 i + a 2 j A 2 i + . . . + a n j A n i = { D , ( i = j ) 0 , ( i ≠ j ) a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+...+a_{jn}A_{in}=\begin{cases}D,(i=j)\\ 0,(i\neq j)\end{cases}\\ a_{1j}A_{1i}+a_{2j}A_{2i}+...+a_{nj}A_{ni}=\begin{cases}D,(i=j)\\ 0,(i\neq j)\end{cases}\\ aj1Ai1+aj2Ai2+...+ajnAin={D,(i=j)0,(i=j)a1jA1i+a2jA2i+...+anjAni={D,(i=j)0,(i=j)

  • 用数k乘以行列式中的某一行(式)等于该行列式的k倍

    推论:提取公因子

  • 行列式中某一行元素加上另一行对应元素的k倍,行列式不变

    利用性质2+按照行展开可证明

  • 若行列式某一行元素是两个数的和,那么可以拆成两个行列式

1.4.2 行列式的计算

利用行列式性质:某行(列)加上/减去另一行/列的几倍,行列式不变。

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性质2:某行乘k等于k乘以此行列式

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性质3:互换两行或者两列,行列式变号

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行用r表示,列用c表示


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1.5 克莱姆法则

定理1:若方程组的系数行列式 D ≠ 0 D\neq 0 D=0,则方程组有唯一解
x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , . . . , x n = D n D x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D} x1=DD1,x2=DD2,...,xn=DDn
定理2:若方程组的系数行列式不为0,那么方程组有唯一解

齐次:没有常数项

定理3:若齐次方程组的系数行列式不为0,那么方程组有唯一的零解

非齐次:还有常数项

方程组 D ≠ 0 D\neq0 D=0 D = 0 D=0 D=0
齐次 只有一组零解 有零解与非零解
非齐次 只有一组非零解 有多个解或者无解

1.6 范德蒙德行列式

范德蒙德行列式:幂指数呈等差数列,按升幂排列

结果:有两个数相同,那么行列式为0

项数:共 n ( n − 1 ) 2 \frac{n(n-1)}{2} 2n(n1)

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  • 识别
  • 例子

1.7 全排列与逆序数

1.7.1 逆序数的概念

逆序数:在一个排列中,逆序的总和称为逆序数

求法:从第一个元素开始,该元素前有几个元素比他大,这个元素的逆序数就是多少。所有元素的逆序数相加,即得到全排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列称为奇排列

逆序数为偶数的排列称为偶排列

对换:在一个排列中,任意调换两个元素,其余元素不变,得到一个新的排列,称为对换。

对换的性质:

  • 任意一个排列,经过对换后改变奇偶性
  • 在n个元素的全排列中,奇偶排列各占一半,为 n ! / 2 n!/2 n!/2

1.7.2 行列式的定义方式

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定理:n阶行列式D等于他的任意一行/列各元素与其代数余子式的乘积之和。

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