线性代数复习CH1：行列式

note：本复习资料是用于保研的数学类科目学习，很基础的一些定义性质没有列出，强烈推荐山大线代慕课秦静教授主讲，考试和保研复习都够用了。

1.行列式

1.1 行列式的概念

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

行列式其实就是速记的符号。

• 二阶对角线的法则
• 三阶行列式的对角线法则

1.2 n阶行列式的定义

代数余子式的概念：（余子式的概念）
$$\begin{gathered} D=a_{11}{A}_{11}+a_{12}{A}_{12}+a_{13}{A}_{13} \\ 类似的有D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+a_{i3}{A}_{i3},i=1,2,3. \\ 或D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+a_{3j}{A}_{3j},j=1,2,3 \\ {A}_{ij}称为元素a_{ij}的代数余子式 \end{gathered}$$
n阶行列式的定义：

余子式$M_{ij}$
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}或D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{mj}{A}_{mj}$$

1.3 特殊行列式的计算

• 对角行列式

  $D=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$为主对角线元素的乘积

• 上三角和下三角行列式

  行列式值为对角线元素的乘积

• 斜三角行列式

1.4 行列式的计算

1.4.1 性质

$D=D^T$

由行列式的性质知成立

• 互换两行，行列式变号

  推论：若有两行完全相同，那么行列式为0

• $$\begin{gathered} a_{j1}{A}_{i1}+a_{j2}{A}_{i2}+...+a_{jn}{A}_{in}=\{\begin{array}{l}D,(i=j)\\ 0,(i\ne j)\end{array} \\ {a}_{1j}{A}_{1i}+a_{2j}{A}_{2i}+...+a_{nj}{A}_{ni}=\{\begin{array}{l}D,(i=j)\\ 0,(i\ne j)\end{array} \end{gathered}$$

• 用数k乘以行列式中的某一行（式）等于该行列式的k倍

  推论：提取公因子

• 行列式中某一行元素加上另一行对应元素的k倍，行列式不变

  利用性质2+按照行展开可证明

• 若行列式某一行元素是两个数的和，那么可以拆成两个行列式

1.4.2 行列式的计算

利用行列式性质：某行（列）加上/减去另一行/列的几倍，行列式不变。

性质2：某行乘k等于k乘以此行列式

性质3：互换两行或者两列，行列式变号

行用r表示，列用c表示

1.5 克莱姆法则

定理1：若方程组的系数行列式$D\ne 0$，则方程组有唯一解：
$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D}$$
定理2：若方程组的系数行列式不为0，那么方程组有唯一解。

齐次：没有常数项

定理3：若齐次方程组的系数行列式不为0，那么方程组有唯一的零解。

非齐次：还有常数项

方程组	$D\ne 0$	$D=0$
齐次	只有一组零解	有零解与非零解
非齐次	只有一组非零解	有多个解或者无解

1.6 范德蒙德行列式

范德蒙德行列式：幂指数呈等差数列，按升幂排列

结果：有两个数相同，那么行列式为0

项数：共$\frac{n(n-1)}{2}$

• 识别
• 例子

1.7 全排列与逆序数

1.7.1 逆序数的概念

逆序数：在一个排列中，逆序的总和称为逆序数

求法：从第一个元素开始，该元素前有几个元素比他大，这个元素的逆序数就是多少。所有元素的逆序数相加，即得到全排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列称为奇排列

逆序数为偶数的排列称为偶排列

对换：在一个排列中，任意调换两个元素，其余元素不变，得到一个新的排列，称为对换。

对换的性质：

• 任意一个排列，经过对换后改变奇偶性
• 在n个元素的全排列中，奇偶排列各占一半，为$n!/2$

1.7.2 行列式的定义方式

定理：n阶行列式D等于他的任意一行/列各元素与其代数余子式的乘积之和。