【算法与数据结构】-2 渐进式分析

运行时增长量级（表格法）

def dup1(A):
	for i in range(len(A)):
		for j in range(i+1,len(A)):
			if A[i] = A[j]:
				return True;
	return False;

operation	count,N=10000	symbolic	worst case
range()	2-10001	2 ~ N+1	N
len()	2-10001	2 ~ N+1	N
i	1-10000	1 ~ N+1	N
j	1-49995000	1 ~ (N^2-N)/2	N^2
==	1-49995000	1 ~ (N^2-N)/2	N^2
array access	2-99990000	2 ~ N^2-N	N^2

def dup2(A):
	for i in range(len(A)-1)):
		if A[i] == A[i+1]:
			return True;
	return False;

operation	count,N=10000	symbolic
range()	1	1
len()	1	1
i	1-9999	1 ~ N-1
==	1-9999	1 ~ N-1
array access	2-19998	2 ~ 2N-2

计算复杂性的时候，遵循以下方法：

1. 只考虑最坏的场景
2. 选择一个最具代表性的操作，如例1的"=="/“j”
3. 忽略所有低指数项，如((N^2)-N)/2 —> (N^2)/2
4. 忽略这一项的系数 (N^2)/2 --> N^2
   

运行时增长量级

1. 选出一个有代表性的操作
2. 找出这个代表性操作出现次数的增长量级
   2.1 找出具体数量，然后删除不必要的项
   2.2 用直觉或其他方法

如例1:

def dup1(A):
	for i in range(len(A)):
		for j in range(i+1,len(A)):
			if A[i] = A[j]:
				return True;
	return False;

通过上表，可以看出最差的场景，==的操作次数为：
C = 1+2+3+…+(n-2) + (n-1) = N(N-1)/2
所以运行时增长量级为：

operation	worst case o.o.g
==	N^2

或者图形算法计算三角形面积。

Big Theta（θ）

定义：
R(N)∈θ(f(N))就意味着存在两个正数k1和k2使得：
k1* f(N) <= R(N) <= k2*f(N)
以上只需要N大于某个N0时。
举个栗子：
40sin(N) + 4N^2 ∈ θ(N^2)

• R(N) = 40sin(N) + 4N^2
• f(N) = N^2
• k1 = 3
• k2 = 5
• 3f(N) <= R(N) <= 5*f(N)成立
  
  根据BigTheta可以将例1的表格修改为如下：

operation	count,N=10000	symbolic	worst case	big theta
range()	2-10001	2 ~ N+1	N	θ(N)
len()	2-10001	2 ~ N+1	N	θ(N)
i	1-10000	1 ~ N+1	N	θ(N)
j	1-49995000	1 ~ (N^2-N)/2	N^2	θ(N^2)
==	1-49995000	1 ~ (N^2-N)/2	N^2	θ(N^2)
array access	2-99990000	2 ~ N^2-N	N^2	θ(N^2)

Big O (O)

定义：
“大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。 可以用“<=”来理解。
R(N)∈O(f(N))就意味着存在正数k1使得：
R(N) <= k1*f(N)
以上只需要N大于某个N0时。

Big Omega(Ω)

定义：
R(N)∈Ω(f(N))就意味着存在正数k1使得：
k1*f(N) <= R(N)
以上只需要N大于某个N0时。
是用另一个函数来描述一个函数数量级的渐进下界，可以用">="来理解。