Atcoder Beginner Contest 226 F - Score of Permutations

Atcoder Beginner Contest 226 F - Score of Permutations

题目大意
给定一个全排列 $P$ = $\{p_{1..n}\}$。
现在，有 $n$ 个人，标号为 $1,2,3,4,...,n$ ，每个人手上有一个球。
进行诺干轮操作：
把手上的球给编号为 $p_i$ 的人。
直到每个人手上拿到初始时刻所持有的球。
对于长度为 $n$ 的全排列 $P$ 定义 $S(P)$ 为操作的轮数。
求 $\sum S(P{)}^k$ 其中 $P$ 是长度为 $n$ 的所有可能的全排列
题解
首先我们定义全错位排列，指的是一个集合X={ $p_{a_1},p_{a_2}..p_{a_n}$ }：经过 $n$ 次操作，集合中的所有人（也就是编号为 $a_1,a_2,..,a_n$ ）恰好都能拿到最初始持有的球。
经过观察对于一个长度为 $n$ 序列 $P=\{p_1,p_2,p_3...p_n\}$ 的全错位排列的排法有 $(n-1)!$ 种
对于一个任意的排列 $P$ , $S(P)$ 为 $P$ 中所有能组成全排列的集合的集合长度（大小）的最小公倍数。比如 排列 2 3 1 5 4 ，前三个数字组成了一个大小为 3 的全错位排列集合，后两个数字组成了大小为 2 的全错位排列集合。所以对于$P=\{p_1=2,p_2=3,p_3=1,p_4=5,p_5=4\}$ ,$S(P)=lcm(2,3)=6$,所以我们现在可以求给出任意一个 $P$ 的 $S(P)$ 。
定义 $DP[i][j]$ 为取长度为 $i$ 操作次数为 $j$ 的序列排列方法数。
考虑转移方法，在当前状态下，再取 $x$ 个数组成全错位排列，那么就会到达 $DP[i+x][lcm(j,x)]$ 那么这两个状态之间存在怎样的数量关系呢？
首先，长度为 $x$ 的全错位排列有 $(x-1)!$ 种，而且，这 $x$ 个数可以在对应的剩余数字 $n-i$ 个里面取。但是，每次再取 $x$ 个数时，必须定一个数是必须要取的，不然会造成重复。比如 $n==5$ 的情况下 $DP[3][2]$ 中 有一种排列方法 2 1 3 那么当 $x=2$ 这种方法可以变成 2 1 3 4 5，当 $DP[2][2]$ 中，有一种排列方法 2 1，如果不限定一个数为必取（比如 3）那么 $x=2$ 时，DP[4][2] 中会有 2 1 _ 5 4。此时这个方法最终也会变成 2 1 3 5 4，造成了重复。所以转移时，我们考虑当前一定有一个数一定在新增的 $x$ 个数之内。
$$DP[i+x][lcm(j,x)]+=(DP[i][j]\ast C_{n-i-1}^{x-i}\ast (x-1)!)$$
然后枚举所有的 $i,j,x$ 就可以了，注意 $max(j)=200000。$
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