[MIT18.06 Notes] Course 1 - The Geometry of Linear Equations

Row picture & Column picture

PS: Row picture 和 Column picture 在国内这两个概念不多见，翻译过来为行图像和列图像。

• Row picture：可以理解为线性方程的函数图像。
• Column picture：可以理解为将矩阵乘以向量的形式分解为$x\cdot u+y\cdot v+...$形式的图像。
  下面会有详细的例子。

求解n linear equations,n unknowns

n equations, n unknowns直译过来就是n个线性方程的方程组，n个未知量。对于一个n equations, n unknowns的方程组，Ax=b。

Example 1: n=2

一个线性的二元一次方程组：
$$\{\begin{array}{rl}& 2x-y=0\\ & -x+2y=3\end{array}$$
它的图像就称作Row Picture:

解得
$$\{\begin{array}{r}x=1\\ y=2\end{array}$$
将线性方程组转化为对应的矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
其中$A=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& -1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$，然后我们将它拆分一下：
$$x\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
Column picture:

也可解得
$$\{\begin{array}{r}x=1\\ y=2\end{array}$$

Example 2: n=3

$$\{\begin{array}{rl}& x+2y+3z=6\\ & 2x+5y+2z=9\\ & 6x-3y+z=4\end{array}$$
有了上面的经验我们可以将其转换为矩阵乘以向量的形式：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 2\\ 6& -3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 9\\ 4\end{array}\right]$$
拆分：
$$x\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 6\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right]+z\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 9\\ 4\end{array}\right]$$
解得
$$\{\begin{array}{r}x=1\\ y=1\\ z=1\end{array}$$
我们来看一下图像是不是这样的：
Row picture:

Column picture:

本节的解都是由图像得出，具体矩阵求解请参见下一节[MIT18.06 Notes] Course 2 - Elimination with Matrices(Part 1)