二维差分（AcWing学习）

思想：

如果扩展到二维，我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c,是否也可以达到O(1)的时间复杂度。答案是可以的，考虑二维差分。

类似与一维差分的思想，也是构造差分数组；

a[][]是b[][]的前缀和数组，b[][]是a[][]的差分数组

a[i][j]是左上角（1,1）到右下角（i，j）这个矩形的和

如何构造b数组

1.类似与一维差分，优化其时间复杂度，让一部分a中的元素每个元素加上c

2.为了方便且不出错误（处理边界问题），我们会让i和j都是从1开始，

而且把a数组存入b数组让修改的时候受到影响。

3.修改b[i][j]的时候会影响到后面的每一个数，（图形上表示就是交点处是i，j，交点处的前缀和就是a1的和，修改i，j处的比如加一个数或者减一个数，就会导致整个a2的地方都加或减了一个相同的数）

因此为了防止此问题的出现，我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c。

b[x1][y1] + = c;

b[x1,][y2+1] - = c;

b[x2+1][y1] - = c;

b[x2+1][y2+1] + = c;

每次对b数组执行以上操作，等价于：

for(int i=x1;i<=x2;i++)
  for(int j=y1;j<=y2;j++)
    a[i][j]+=c;

图片理解：

b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。
 

封装成函数：

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{     //对b数组执行插入操作，等价于对a数组中的(x1,y1)到(x2,y2)之间的元素都加上了c
    b[x1][y1]+=c;
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;
}

初始化b数组

我们可以先假想a数组为空，那么b数组一开始也为空，但是实际上a数组并不为空，因此我们每次让以(i,j)为左上角到以(i,j)为右上角面积内元素(其实就是一个小方格的面积)去插入 c=a[i][j]，等价于原数组a中(i,j) 到(i,j)范围内 加上了 a[i][j] ,因此执行n*m次插入操作，就成功构建了差分b数组.

总结：

 题目:

输入一个 nn 行 mm 列的整数矩阵，再输入 qq 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,cx1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1)(x1,y1) 和 (x2,y2)(x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 cc。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 n,m,qn,m,q。

接下来 nn 行，每行包含 mm 个整数，表示整数矩阵。

接下来 qq 行，每行包含 55 个整数 x1,y1,x2,y2,cx1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式

共 nn 行，每行 mm 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

1≤n,m≤10001≤n,m≤1000,
1≤q≤1000001≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000−1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

代码

#include


using  namespace std;
const int N=1010;

int a[N][N],b[N][N]; //一个是原数组，一个是差分数组
int m,n,q;

void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    b[x1][y1]+=c;
    //类似一维的差分（差分就是将数列中的每一项分别与前一项数做差。）
    //这样做的结果就是在x1，y1的右下角的全部都+c了
    //下面是清除多余+c
    b[x2+1][y1]-=c;
    b[x1][y2+1]-=c;
    b[x2+1][y2+1]+=c;  //因为两次减法减了两遍
}


int main() {
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
        scanf("%d",&a[i][j]);

        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                insert(i,j,i,j,a[i][j]);

while(q--)
{
    int x1,y1,x2,y2,c;
    cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
    insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
            b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];  //b的前缀和
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++) printf("%d ",b[i][j]);
            puts("");
        }

return 0;
}

参考：AcWing 798. 差分矩阵 【 c++详细题解 】 - AcWing