Hyperspectral Image Super-Resolution via Non-Negative Structured Sparse Representation论文阅读笔记(PART)

Hyperspectral Image Super-Resolution via Non-Negative Structured Sparse Representation论文阅读笔记

II. PROBLEM FORMULATION

本文目标：

从一幅LR高光谱图像和一副同样场景的HR RGB图像中恢复一副HR高光谱图像。

其中，和分别表示Z和X的像素总数，L是Z的光谱数(L>>3)。

X和Y都可以表达成希望恢复的HR高光谱图像Z的线性组合：

其中，表示退化矩阵(模糊和下采样)，P是一个变换矩阵将Z映射到它的RGB表达Y。因为X和Y的总测量值个数远小于未知Z的总个数，即，所以从X和Y中恢复Z是一个不适定(ill-posed)问题，常用利用未知Z的先验知识的正则化方法解决。

稀疏先验在高光谱图像重建方面的不适定问题是有效的，其假设目标图像Z的每个像素可以表示为少数不同的谱间特征的线性组合：

其中，是谱间字典，是稀疏的the fractional abundance vector ，是估计误差。D的每一列表示该场景覆盖物质的辐射向量。

因为观察到的高光谱图像，所以X中的每个像素可表示为：

其中，代表位置i处的窗的加权系数，是一个稀疏向量。

对于HR RGB图像Y，可以表示为：

由此可看出，给定一个谱间字典D，稀疏向量可以从Y中估计得到。

III.PROPOSED METHOD

根据式(2)，我们可以将Z重写为：

其中，系数矩阵，但是，式(5)中谱间字典D和系数矩阵A都未知。本文打算利用X和Y来估计D和A。

A. Spectral Dictionary Learning

因为LR高光谱图像X的每个像素可以表示为少数谱特征的线性组合，我们可以从X中估计D：

式(3)的矩阵形式可以写为：

其中，是系数矩阵，V是估计误差矩阵，假设为加性高斯噪声。B和D都未知。

谱间字典D的估计可通过解决下面的稀疏非负矩阵分解问题得到：

本文中，受启发于K-SVD和ODL(online dictionary learning)算法，我们提出一种高效的非负DL算法，其在每次迭代中通过一个闭解更新每个原子。对于一个固定的D，对于B的子问题变为：

使用ADMM算法解决式(8)：

式(8)可写成：

式(9)的增广拉格朗日函数为：

是拉格朗日乘子。

则解决式(9)包含以下迭代步骤：

其中，j是迭代次数。并且，S，B更新方式分别为：

其中，是软收缩算子，并且

对于固定的B，D通过下式进行更新：

在本文中，与ODL方法类似，我们提出采用block coordinate descent 解决式(14)，即在非负约束下，每次迭代中更新D的一列同时保持其他列固定。令表示第t次迭代后的字典，则可以通过求解式(15)得到：

其中，

算法描述：