仿射变换和透视变换矩阵的参数含义与区别
从直观的角度看，仿射变换和透视变换的最大区别是：一个平行四边形，经过仿射变换后依然是平行四边形；而经过透视变换后只是一个四边形（不再平行了）。
仿射变换
仿射变换是把一个二维坐标系转换到另一个二维坐标系的过程，转换过程坐标点的相对位置和属性不发生变换，是一个线性变换，该过程只发生旋转和平移过程。因此，一个平行四边形经过仿射变换后还是一个平行四边形。
所以，仿射= 旋转 + 平移
仿射变换矩阵为：
其中，(x,y)是原图坐标，(x’,y’)是变换后的坐标；m11,m12,m21,m22为旋转量，m13,m23为平移量。所以仿射变换矩阵实际为2*3的矩阵，以上只是齐次性，为了方便简洁表达旋转和平移，因此，仿射变换为线性变换。
在opencv中，实现仿射变换的函数为:
- warpAffine(src,dst,M,(cols,rows))
- src:输入图像
- dst:输出图像
- M:2*3的仿射变换矩阵
- (cols,rows):输出图像的行数和列数
以下用python编程语言，opencv函数库简单实现一下仿射变换，以下程序实现把一张图片顺时针旋转45°，向左平移200个像素点，向下平移30个像素点，该过程的仿射变换矩阵为：
import cv2 as cv
import numpy as np
src = cv.imread("Google.jpg")
rows,cols = src.shape[0:2]
M = np.array([[np.cos(np.pi/4),np.sin(-np.pi/4),500],[np.sin(np.pi/4),np.cos(np.pi/4),30]]) #顺时针旋转45度，向左平移200，向下平移30
dst = cv.warpAffine(src,M,(2*cols, 2*rows))#把输出图像的大小改为输入图像的两倍
cv.imshow("src",src)
cv.imshow("dst",dst)
cv.imwrite("affine.jpg", dst)
cv.waitKey(0)
输入图像src:
输出图片dst:
透视变换
透视变换是把一个图像投影到一个新的视平面的过程，该过程包括：把一个二维坐标系转换为三维坐标系，然后把三维坐标系投影到新的二维坐标系。该过程是一个非线性变换过程，因此，一个平行四边形经过透视变换后只得到四边形，但不平行。
透视变换矩阵为：
其中，(x,y)是原图坐标，(x’,y’)是变换后的坐标；m11,m12,m21,m22,m31,m32为旋转量，m13,m23,m33为平移量。因为透视变换是非线性的，所以不能齐次性表示；透视变换矩阵为3*3。
在opencv中，实现透视变换的函数为：
- warpPerspective(src,dst,H,(cols,rows))
- src:输入图像
- dst:输出图像
- H:3*3的仿射变换矩阵
- (cols,rows):输出图像的行数和列数
程序实现跟仿射变换差不多，这里不再展示。
总结
仿射变换常用于旋转和平移等图像处理操作，原理较简单。而透视变换的实际应用较大，如视角纠正，全景拼接等。
单应性Homograph估计：从传统算法到深度学习
单应性原理被广泛应用于图像配准，全景拼接，机器人定位SLAM，AR增强现实等领域。这篇文章从基础图像坐标知识系为起点，讲解图像变换与坐标系的关系，介绍单应性矩阵计算方法，并分析深度学习在单应性方向的进展。
本文为入门级文章，希望能够帮助读者快速了解相关内容。
目录
一 图像变换与平面坐标系的关系
二 平面坐标系与齐次坐标系
三 单应性变换
四 深度学习在单应性方向的进展
单应性估计在图像拼接中的应用
一 图像变换与平面坐标系的关系
- 旋转：
将图形围绕原点 逆时针方向旋转 角，用解析式表示为：
旋转
写成矩阵乘法形式：
- 平移：
平移 
但是现在遇到困难了，平移无法写成和上面旋转一样的矩阵乘法形式。所以引入齐次坐标 ，再写成矩阵形式：
其中 表示单位矩阵，而 表示平移向量。
那么就可以把把旋转和平移统一写在一个矩阵乘法公式中，即刚体变换：
而旋转矩阵 是正交矩阵（ ）。
刚体变换：旋转+平移（正方形-正方形）
- 仿射变换
其中 可以是任意2x2矩阵（与 一定是正交矩阵不同）。
仿射变换（正方形-平行四边形）
可以看到，相比刚体变换（旋转和平移），仿射变换除了改变目标位置，还改变目标的形状，但是会保持物体的“平直性”。
不同 和 矩阵对应的各种基本仿射变换：
- 投影变换（单应性变换）
投影变换（正方形-任意四边形）
简单说，投影变换彻底改变目标的形状。
总结一下：
- 刚体变换：平移+旋转，只改变物体位置，不改变物体形状
- 仿射变换：改变物体位置和形状，但是保持“平直性”
- 投影变换：彻底改变物体位置和形状
注：上图“投影变换”应该是“任意四边形”
我们来看看完整投影变换矩阵各个参数的物理含义：
其中 代表仿射变换参数， 代表平移变换参数。
而 表示一种“变换后边缘交点“关系，如：
至于 则是一个与 相关的缩放因子。
一般情况下都会通过归一化使得 （原因见下文）。
二 平面坐标系与齐次坐标系
问题来了，齐次坐标到底是什么？
齐次坐标系 与常见的三维空间坐标系 不同，只有两个自由度：
而 （其中 ）对应坐标 和 的缩放尺度。当 时：
特别的当 时，对应无穷远：
三 单应性变换
- 单应性是什么？
此处不经证明的给出：用 [无镜头畸变] 的相机从不同位置拍摄 [同一平面物体] 的图像之间存在单应性，可以用 [投影变换] 表示 。
注意：单应性成立是有条件的！
简单说就是：
其中 是Left view图片上的点， 是Right view图片上对应的点。
- 那么这个 单应性矩阵如何求解呢？
从更一般的情况分析，每一组匹配点 有等式（15）成立：
由平面坐标与齐次坐标对应关系 ，上式可以表示为：
进一步变换为：
写成矩阵 形式：
也就是说一组匹配点 可以获得2组方程。
- 单应性矩阵8自由度
注意观察：单应性矩阵 与 其实完全一样（其中 ），例如：
即点 无论经过 还是 映射，变化后都是 。
如果使 ，那么有:
所以单应性矩阵 虽然有9个未知数，但只有8个自由度。
在求 时一般添加约束 （也有用 约束），所以还有 共8个未知数。由于一组匹配点 对应2组方程，那么只需要 组不共线的匹配点即可求解 的唯一解。
XIAOMI9拍摄，有镜头畸变
OpenCV已经提供了相关API，代码和变换结果如下。
import cv2
import numpy as np
im1 = cv2.imread(‘left.jpg’)
im2 = cv2.imread(‘right.jpg’)
src_points = np.array([[581, 297], [1053, 173], [1041, 895], [558, 827]])
dst_points = np.array([[571, 257], [963, 333], [965, 801], [557, 827]])
H, _ = cv2.findHomography(src_points, dst_points)
h, w = im2.shape[:2]
im2_warp = cv2.warpPerspective(im2, H, (w, h))
可以看到：
- 红框所在平面上内容基本对齐，但受到镜头畸变影响无法完全对齐；
- 平面外背景物体不符合单应性原理，偏离很大，完全无法对齐。
- 传统方法估计单应性矩阵
一般传统方法估计单应性变换矩阵，需要经过以下4个步骤：
- 提取每张图SIFT/SURF/FAST/ORB等特征点
- 提取每个特征点对应的描述子
- 通过匹配特征点描述子，找到两张图中匹配的特征点对（这里可能存在错误匹配）
- 使用RANSAC算法剔除错误匹配
- 求解方程组，计算Homograph单应性变换矩阵
示例代码如下：
#coding:utf-8
# This code only tested in OpenCV 3.4.2!
import cv2
import numpy as np
# 读取图片
im1 = cv2.imread(‘left.jpg’)
im2 = cv2.imread(‘right.jpg’)
# 计算SURF特征点和对应的描述子，kp存储特征点坐标，des存储对应描述子
surf = cv2.xfeatures2d.SURF_create()
kp1, des1 = surf.detectAndCompute(im1, None)
kp2, des2 = surf.detectAndCompute(im2, None)
# 匹配特征点描述子
bf = cv2.BFMatcher()
matches = bf.knnMatch(des1, des2, k=2)
# 提取匹配较好的特征点
good = []
for m,n in matches:
if m.distance < 0.7*n.distance:
good.append(m)
# 通过特征点坐标计算单应性矩阵H
# （findHomography中使用了RANSAC算法剔初错误匹配）
src_pts = np.float32([kp1[m.queryIdx].pt for m in good]).reshape(-1,1,2)
dst_pts = np.float32([kp2[m.trainIdx].pt for m in good]).reshape(-1,1,2)
H, mask = cv2.findHomography(src_pts, dst_pts, cv2.RANSAC, 5.0)
matchesMask = mask.ravel().tolist()
# 使用单应性矩阵计算变换结果并绘图
h, w, d = im1.shape
pts = np.float32([[0,0], [0,h-1], [w-1,h-1], [w-1,0]]).reshape(-1,1,2)
dst = cv2.perspectiveTransform(pts, H)
img2 = cv2.polylines(im2, [np.int32(dst)], True, 255, 3, cv2.LINE_AA)
draw_params = dict(matchColor = (0,255,0), # draw matches in green color
singlePointColor = None,
matchesMask = matchesMask, # draw only inliers
flags = 2)
im3 = cv2.drawMatches(im1, kp1, im2, kp2, good, None, **draw_params)
相关内容网上资料较多，这里不再重复造轮子。需要说明，一般情况计算出的匹配的特征点对 数量都有 ，此时需要解超定方程组（类似于求解线性回归）。
四 深度学习在单应性方向的进展
- HomographyNet（深度学习end2end估计单应性变换矩阵）
HomographyNet是发表在CVPR 2016的一种用深度学习计算单应性变换的网络，即输入两张图，直接输出单应性矩阵 。
在之前的分析中提到，只要有4组 匹配点即可计算 的唯一解。
相似的，只要有4组 也可以计算出 的唯一解：
其中 且 。
分析到这里，如果要计算 ，网络输出可以有以下2种情况：
- Regression：网络直接输出 共8个数值
这样设置网络非常直观，使用L2损失训练，测试时直接输出8个float values，但是没有置信度confidence。即在使用网络时，无法知道当前输出单应性可靠程度。
2. Classification：网络输出 共8个值的量化值+confidence
这时将网络输出每个 和 量化成21个区间，用分类的方法判断落在哪一个区间。训练时使用Softmax损失。相比回归直接输出数值，量化必然会产生误差，但是能够输出分类置信度评判当前效果好坏，更便于实际应用。
另外HomographyNet训练时数据生成方式也非常有特色。
- 首先在随机 位置获取正方形图像块Patch A
- 然后对正方形4个点进行随机扰动，同时获得4组
- 再通过4组 计算
- 最后将图像通过 变换，在变换后图像 位置获取正方形图像块Patch B
那么图像块A和图像块B作为输入，4组 作为监督Label，进行训练
可以看到，在无法提取足够特征点的弱纹理区域，HomographyNet相比传统方法确实有一定的优势：
- Spatial Transformer Networks（直接对CNN中的卷积特征进行变换）
其实早在2015年，就已经有对CNN中的特征进行变换的STN结构。
假设有特征层 ，经过卷积变为 ，可以在他们之间插入STN结构。这样就可以直接学习到从特征 上的点 映射到特征 对应点 的仿射变换。
其中 对应STN中的仿射变换参数。STN直接在特征维度进行变换，且可以插入轻松任意两层卷积中。
- DELF: DEep Local Features（深度学习提取特征点与描述子）
之前提到传统方法使用SIFT和Surf等特征点估计单应性。显然单应性最终估计准确度严重依赖于特征点和描述子性能。Google在ICCV 2017提出使用使用深度学习提取特征点。
tensorflow/models/delf
考虑到篇幅，这里不再展开DELF，请有兴趣的读者自行了解相关内容。
五 关于OpenCV图像坐标系的问题
需要说明的是，在上述分析中使用的是 坐标系；但是在OpenCV等常用图像库中往往使用以图像左上角为原点的 坐标系，会导致OpenCV中的Homograph矩阵与上述推导有一些差异。但是由于非常接近，所以不再展开。
相机数学模型点这里：
相机模型与视觉测距不完全指南
对极几何点这里：
从对极几何恢复相机运动