comsec作业五：椭圆曲线
一、
令 z = y 2 = x 3 + 2 x + 1 m o d 7 z=y^2=x^3+2x+1\ mod\ 7 z=y2=x3+2x+1 mod 7
要计算椭圆曲线上的点，即计算GF(7)中每个元素作为x代入后得到的z值，再判定z是否是模7的二次剩余，判定结果如下
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| z | 1 | 4 | 6 | 6 | 3 | 3 | 5 |
| y | 1,6 | 2,5 | null | null | null | null | null |
由上表易得， E 7 ( 2 , 1 ) E_7(2,1) E7(2,1)上的点有 ( 0 , 1 ) 、 ( 0 , 6 ) 、 ( 1 , 2 ) 、 ( 1 , 5 ) (0,1)、(0,6)、(1,2)、(1,5) (0,1)、(0,6)、(1,2)、(1,5)以及无穷远点O组成
二、
由定义可得
− P = ( 3 , 5 ) − 1 = ( 3 , − 5 ) = ( 3 , 2 ) 当 y m o d 7 -P=(3,5)^{-1}=(3,-5)=(3,2)当\ y\ mod \ 7 −P=(3,5)−1=(3,−5)=(3,2)当 y mod 7
− Q = ( 2 , 5 ) − 1 = ( 2 , − 5 ) = ( 2 , 2 ) 当 y m o d 7 -Q=(2,5)^{-1}=(2,-5)=(2,2)当\ y\ mod \ 7 −Q=(2,5)−1=(2,−5)=(2,2)当 y mod 7
− R = ( 5 , 0 ) − 1 = ( 5 , 0 ) = ( 5 , 0 ) 当 y m o d 7 -R=(5,0)^{-1}=(5,0)=(5,0)当\ y\ mod \ 7 −R=(5,0)−1=(5,0)=(5,0)当 y mod 7
三、
在 E 11 ( 1 , 7 ) E_{11}(1,7) E11(1,7)当 P = ( x 1 , y 1 ) , Q = ( x 2 , y 2 ) P=(x_1,y_1),Q=(x_2,y_2) P=(x1,y1),Q=(x2,y2)时 S = （ x 3 , y 3 ） = P + Q S=（x_3,y_3）=P+Q S=（x3,y3）=P+Q的计算法则如下：
1 、 x 3 ≡ λ 2 − x 1 − x 2 1、x_3≡λ^2-x_1-x_2 1、x3≡λ2−x1−x2
2 、 y 3 ≡ λ ( x 1 − x 3 ) − y 1 2、y_3≡λ(x_1-x_3)-y_1 2、y3≡λ(x1−x3)−y1
3 、 P ≠ Q ： λ ≡ y 2 − y 1 x 2 − x 1 , P = Q : λ ≡ 3 ∗ x 1 2 + a 2 y 1 3、P≠Q：λ≡\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, \ P=Q:λ≡\frac{3*x_1^2+a}{2y_1} 3、P=Q：λ≡x2−x1y2−y1, P=Q:λ≡2y13∗x12+a
由 G = ( 3 , 2 ) G=(3,2) G=(3,2)先计算 2 G = G + G 2G=G+G 2G=G+G
λ ≡ 3 ∗ 3 2 + 1 2 ∗ 2 ( m o d 11 ) ≡ 7 λ≡\frac{3*3^2+1}{2*2}(mod\ 11)≡7 λ≡2∗23∗32+1(mod 11)≡7
于是
x 3 ≡ 7 2 − 3 − 3 ≡ 10 ( m o d 11 ) x3≡7^2-3-3≡10(mod\ 11) x3≡72−3−3≡10(mod 11)
y 3 ≡ 7 ∗ ( 3 − 10 ) − 2 ≡ 4 ( m o d 11 ) y3≡7*(3-10)-2≡4(mod\ 11) y3≡7∗(3−10)−2≡4(mod 11)
同理依次求得结果如下表：
| G | 2G | 3G | 4G | 5G | 6G | 7G | 8G | 9G | 10G | 11G | 12G | 13G |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (3,2) | (10,4) | (1,8) | (5,4) | (4,8) | (7,7) | (6,8) | (6,3) | (7,4) | (4,3) | (5,7) | (1,3) | (10,7) |