连续状态方程离散化

连续状态方程

连续状态方程的表达式为：
$$\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\\ y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{array}$$
将以上状态方程离散化以下形式：
$$\begin{array}{l}x(k+1)=Ex(k)+Fu(k)\\ y(k)=Gx(k)+Hu(k)\end{array}$$

第一种方式：解状态方程

求解

对连续状态方程进行变形：
$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)-Ax(t)=Bu(t)\\ \alpha \dot{x}(t)-\alpha Ax(t)=\alpha Bu(t)\\ (\alpha x(t){)}^{\prime }=\alpha Bu(t)\end{array}$$
求解$\alpha$为时间t的函数有：
$$\alpha =e^{-At}$$
所以有：
$${\left[e^{-At}x(t)\right]}^{\prime }=e^{-At}Bu(t)$$
求解有：
$$\{\begin{array}{l}{\left[e^{-At}x(t)\right]}^{\prime }=e^{-At}Bu(t)\\ \frac{d\left[e^{-At}x(t)\right]}{dt}=e^{-At}Bu(t)\\ {\int }_{t_0}^{t}d\left[e^{-At}x(t)\right]={\int }_{t_0}^t{e}^{-At}Bu(t)dt\\ x(t)=x(t_0)e^{A(t-t_0)}+B{\int }_{t_0}^t{e}^{-F\tau }u(\tau )d\tau \end{array}$$
其中设其实时刻为$t_0$，对于F为矩阵的情况，可以用指数级数展开的公式计算：
$$e^{At}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{(At)}^n}{n!}$$
一般到二阶即可。

离散化

设相邻采样时刻为$t_k$和$t_{k+1}$，有$t_{k+1}-t_k=T$，$T$为采样间隔。对与求解的表达式代入有：
$$x(t_{k+1})=x(t_k)e^{A(t_{k+1}-t_k)}+B{\int }_{t_k}^{t_{k+1}}{e}^{A(t-\tau )}u(\tau )d\tau$$

$$x(t_{k+1})=x(t_k)e^{AT}+B{\int }_{t_k}^{t_{k+1}}{e}^{A(t_{k+1}-\tau )}u(\tau )d\tau$$

相邻采样时刻间隔很小，这里采用一个近似所有：
$$u(\tau )=u(t_k),t_k\le \tau \le t_{k+1}$$
所以有：
$$\begin{array}{c}x(t_{k+1})=x(t_k)e^{AT}+B{\int }_{t_k}^{t_{k+1}}{e}^{A(t_{k+1}-\tau )}u(\tau )d\tau \\ =x(t_k)e^{AT}+Bu(t_k){\int }_{t_k}^{t_{k+1}}{e}^{A(t_{k+1}-\tau )}d\tau \end{array}$$
对比离散方程可以推出
$$E=e^{AT},F=B{\int }_{t_k}^{t_{k+1}}{e}^{A(t_{k+1}-\tau )}d\tau$$
对于$F$，设$\lambda = {t_{k + 1}} - \tau $，可以推出B：
$$F=B{\int }_0^T{e}^{At}dt$$
设$t_k=kT$，代入到$x(t)$的表达式中有：
$$x\left[\left(k+1\right)T\right]=x\left(kT\right)e^{AT}+B{\int }_0^T{e}^{At}dt\cdot u(kT)$$
因为$(k+1)T$只表示序列点出现的时刻，所以拿掉$T$有：
$$x\left(k+1\right)=x\left(k\right)e^{AT}+B{\int }_0^T{e}^{At}dt\cdot u(k)$$
对于$e^{At}$有另一种计算方式，对状态方程进行Laplace变化：
$$sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)$$
有：
$$x(s)=(sI-A{)}^{-1}x(0)+(sI-A{)}^{-1}Bu(s)$$
其中$I$为单位矩阵。对比之前求解的$x(t)$的表达式有：
$$e^{At}=L^{-1}\left[{\left(sI-A\right)}^{-1}\right]$$

第二种方法：欧拉法

写出$\dot{x}(t)$的表达式：
$$\dot{x}(t)=\frac{x(k+1)-x(k)}{T}$$
代入到连续状态方程中有：
$$\{\begin{array}{l}\frac{x(k+1)-x(k)}{T}=Ax(k)+Bu(k)\\ \Rightarrow x(k+1)-x(k)=ATx(k)+BTu(k)\\ \Rightarrow x(k+1)=\left(AT+1\right)x(k)+BTu(k)\end{array}$$
所以有
$$E=\left(AT+I\right),F=BT$$