【李航统计学习笔记】第四章：朴素贝叶斯

（尾巴：补充一些例子）

4.1 直观理解

条件概率

例子4.1：

女朋友和妈妈掉河里了，路人拿出来3颗豆, 两颗红豆1颗绿豆。如果我抽中红豆救女朋友, 抽中绿豆救妈妈。我和路人各自抽了一颗, 路人发现自己抽中的是绿豆，他想用剩下的那颗和我换，我换不换？换不换豆女朋友活下去的概率一样吗？

直觉来讲：
换不换豆我抽中红豆的概率应该都是 $1/3$ 。这时路人跟我说他的是绿豆, 排除一颗, 我抽中红豆的概率是 $1/2$ 。换不换概率都是 $1/2$ 。

计算一下：

如果更换，那么其实就是重新在两个豆子中选了，所以概率是:
$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}=\frac{1\cdot \frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$$
如果不换，其实还是按照一开始两人同时挑选的概率：
$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}=\frac{1\cdot \frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$$
设 A表示我抽中的是红豆，B表示路人抽中的是绿豆。这里的差别在于有了先后抽取的顺序。更换，一位着重新在第一次抽取的基础上进行了第二次抽取。 结论：如果要救女朋友，最好和路人交换一下。如果要救妈, 最好不要换。

条件概率：$P(A\mid B)$ 表示在$B$发生的条件下发生 $A$的概率。
$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$

参数估计

例子4.2：

假设有一个手写数据集，里面有 100 条记录，其中第0-9条记录是10个人分别写的0。10-19条是10个人分别写的 1。 $\cdots \cdots$ 。第90-99条是10个人分别写的10 。小红写了一个数字X，怎么判断是数字几呢？

朴素贝叶斯工作原理：
$$P(Y=0\mid X)=?,P(Y=1\mid X)=?,\cdots \cdots ,P(Y=10\mid X)=?$$
找到概率值最高的，就是对应的数字。

对于刚刚的手写数据集, 我们设数字的类别为 $C_k,C_0$ 表示数字 $0,\cdots \cdots$ 。刚才数字判别公式可以修改为 $P\left(Y=C_{\mathrm{k}}\mid X=x\right)$ 。
$$\begin{array}{rl}P\left(Y=C_{\mathrm{k}}\mid X=x\right)& =\frac{P\left(X=x\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}{P(X=x)}\\ =& \frac{P\left(X=x\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}{{\sum }_{k}P\left(X=x,Y=C_k\right)}\\ =& \frac{P\left(X=x\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}{{\sum }_{k}P\left(X=x\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}\\ =& \frac{P\left(X=x\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}{{\sum }_{k}P\left(X=x\mid Y=C_k\right)P\left(Y=C_k\right)}\\ =& \frac{P\left(Y=C_k\right){\prod }_{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)}{{\sum }_{k}P\left(Y=C_k\right){\prod }_{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)}\end{array}$$
另外：
$$\begin{array}{rl}P\left(X=x\mid Y=C_k\right)& =P\left(X^{(1)}=x^{(1)}\mid Y=C_k\right)P\left(X^{(2)}=x^{(2)}\mid Y=C_k\right)\cdots P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)\\ & =\prod _{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)\end{array}$$
朴素的意义：特征独立
$$\begin{array}{rl}f(x)=\underset{C_k}{\mathrm{argmax}}P\left(Y=C_k\mid X=x\right)& =\frac{P\left(Y=C_k\right){\prod }_{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)}{{\sum }_{k}P\left(Y=C_k\right){\prod }_{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)}\\ & =P\left(Y=C_k\right)\prod _{j}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=C_k\right)\end{array}$$
又
$$P\left(Y=C_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=C_k\right)}{N},k=1,2,\dots ,K$$
其中I是指示函数:
$$I(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 条件 }x\text{ 为真 }\\ 0,& \text{ 条件 }x\text{ 为假 }\end{array}$$
假设第 $\mathrm{j}$ 个特征 $x^{(j)}$ 可能取值的集合为 $\left\{a_{j1},a_{j2},\dots ,a_{j{S}_j}\right\}$
$$\begin{array}{c}P\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=C_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=C_k\right)}{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=C_k\right)}\\ j=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,S_j;k=1,2,\dots ,K\end{array}$$

这里注意：

1. 统计数据集当中每个类别的数目, 例如数据集大小为100，其中5出现了20次, 那么 $ P\left(Y=C_{5}\right)=\dfrac{20}{100}=0.2$
2. 统计当类别为 $C_k$ 时, $x_i^{(j)}=a_{jl}$ 出现的 次数占类别为 $C_k$ 的样本数目的比例

算法4.1: 朴素贝叶斯算法

输入：训练数据$T=\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\dots ,\left(x_N,y_N\right)\right\}$,其中$x_i={\left(x_i^{(1)},x_i^{(2)},\dots ,x_i^{(n)}\right)}^T,x_i^{(j)}$是第$i$个样本的第$j$个特征，$x_i^{(j)}\in \left\{a_{j1},a_{j2},\dots ,a_{j{s}_j}\right\}$，$a_{jl}$是第$j$个特征可能取的第$l$个值，$j=1,2,\dots ,n,l=1,2,\dots ,S_j,y_i\in \left\{c_1,c_2,\dots ,c_K\right\}$.实例$x$

输出:实例$x$的分类

(1)计算先验概率以及条件概率
$$\begin{array}{c}P\left(Y=c_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=c_k\right)}{N},k=1,2,\dots ,K\\ P\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=c_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k\right)}{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=c_k\right)},j=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,S_j;k=1,2,\dots ,k\end{array}$$
(2)对于给定的实例$x={\left(x^{(1)},x^{(2)},\dots ,x^{(n)}\right)}^T$，计算
$$P\left(Y=c_k\right)\prod _{j=1}^{n}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=c_k\right),k=1,2,\dots ,K$$
(3)确定实例$x$的类
$$y=\underset{c_k}{\mathrm{argmax}}P\left(Y=c_k\right)\prod _{j=1}^{n}P\left(X^{(j)}=x^{(j)}\mid Y=c_k\right)$$

总结

1. 条件概率公式：$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$
2. 使用条件概率公式逐步导出到最后参数估计的步骤需牢记。（从条件概率公式逐步替换变复杂, 最后因为分母是常数再简化）。
3. 后续会遇到很多类似的推导过程, 一般都是先各 种替换变复杂最后简化（先膨胀再瘪下去）。

4.2 贝叶斯估计

其实我们在上一个section得到的
$$\begin{array}{c}P\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=C_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=C_k\right)}{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=C_k\right)}\\ j=1,2,\dots ,n;l=1,2,\dots ,S_j;k=1,2,\dots ,K\end{array}$$
是有问题的。因为公式的坟墓有可能为0！

例子：

数据集大小为 100 , 其中属于数字0的样本数有 10 个, 属于数字1的样本数0个, $\cdots \cdots$ 。当我要计算 $P\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=C_1\right)$ 时 $\cdots \cdots$

上式就不能直接使用了。

我们要对公式做一点改动
$$P\left(X^{(j)}=a_{jl}\mid Y=C_k\right)=\frac{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=C_k\right)+\lambda }{{\sum }_{i=1}^{N}I\left(y_i=C_k\right)+S_j\lambda }$$
$S_j:x_i$是可取特征数目

4.3 后验概率最大化

后验概率最大化等价于期望风险最小化。假设朴素贝叶斯使用0-1损失函数：
$$L(Y,f(x))=\{\begin{array}{ll}1,& Y\ne f(x)\\ 0,& Y=f(x)\end{array}$$
此时期望风险为：
$$\begin{array}{rl}{R}_{\exp }(f)& =E[L(Y,f(x))]\\ & =E_x\sum _{k=1}^K\left[L\left(C_k,f(x)\right)\right]P\left(C_k\mid X=x\right)\end{array}$$
只需对$X=x$逐个极小化：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\underset{y\in \gamma }{\mathrm{argmin}}\sum _{k=1}^K\left[L\left(C_k,y\right)\right]P\left(C_k\mid X=x\right)\\ & =\underset{y\in \gamma }{\mathrm{argmin}}\sum _{k=1}^{K}P\left(y\ne C_k\mid X=x\right)\\ & =\underset{y\in \gamma }{\mathrm{argmin}}\left(1-P\left(y\ne C_k\mid X=x\right)\right)\\ & =\underset{y\in \gamma }{\mathrm{argmax}}P\left(y=C_k\mid X=x\right)\end{array}$$
由此可得，期望风险最小化准则变成了后验概率最大化准则。也就是朴素贝叶斯所采用的定理。