数学一 高等数学

 最近在准备2022的计算机考研
 本篇文章是数学一，高等数学的笔记
 后续会更新

0.概要

本篇文章是二战期间所写，是一种记录形式的笔记。文中不会介绍基本的概念，因为高等数学涉及到的基础概念实在太多，并且很多直接百度也有，在此就不再赘述了。如果需要可以自己看书或者百度，本文旨在讲解大部分知识点以及该知识点注意事项（常考项），主要将高数分为8大部分，其中最后三部分空间代数，无穷级数和曲线曲面积分是数一单独考核的，最后希望大家在学习过程中少走弯路。

1. 函数 极限 连续

1.1预备知识

有不少知识点是大学和高中之间的空缺，在这里特此提出，希望各位牢记，这些都是以经常考的考点。

三角函数

和差化积
$sinx+siny=2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$ 帅 + 帅 = 帅哥

$sinx-siny=2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$ 帅 - 帅 = 哥帅

$cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}$ 哥 + 哥=哥哥

$cosx-cosy=-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}$ 哥-哥 = 负嫂嫂

和差化积
$sinxcosy=\frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)]$ 帅哥=帅 + 帅

$cosxsiny=\frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)]$哥帅=帅 - 帅

$cosxcosy=\frac{1}{2}[cos(x+y)+cos(x-y)]$ 哥哥=哥 + 哥

$sinxsiny=-\frac{1}{2}[cos(x+y)+cos(x-y)]$负嫂嫂=哥-哥
参考链接：如何快速记忆和差化积和积化和差公式

函数关系
$arcsinx+arccosx=\frac{\pi }{2}$
$arctanx+arccotx=\frac{\pi }{2}$
$arctanx+arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$

反三角函数

名称	定义域	值域	奇偶性
$arcsinx$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	奇
$arccosx$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$	非奇非偶
$arctanx$	$R$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	奇
$arccotx$	$R$	$[0,\pi ]$	非奇非偶

2. 一元函数微分学

导数

导数的定义：$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
极限的定义很简单但是往年考题也考过，需要在以下几点注意：

1. $\frac{dy}{dx}$首先是一个除法，也就是$\frac{dy}{dx}\ast \frac{dx}{dv}=\frac{dy}{dv}$，也就是我们常说的链式法则，就是建立这个基础上的，而常用的参数方程求导也是利用这个，同时这需要和后面的偏导数做区分，偏导数看作一个整体，$\frac{\partial y}{\partial x}\ast \frac{\partial x}{\partial v}$是不能约分的。
2. 在导数的定义中，变量只能有一个，也就是常常说的“一动一不动”，$\Delta x$可以替换成其他无穷小量，但是$x_0$也就是求导点必须要有。
3. 导数有两种定义都要会使用，根据题目来选取合适的定义，比如题目中有关于$f(x+y)=f(x)+f(y)$时就明显使用第一种定义。
4. 导数存在的充要条件是左右导数存在且相等，而导函数存在不代表可导函数连续，不要混淆二者，当需要证明导函数连续时，把导函数当作一个新的函数，研究该导数的连续性即可。

导数的性质
可导奇函数的导函数–>偶函数
可导偶函数的导函数–>奇函数
可导周期函数的导函数–>周期函数（周期不变）

微分

微分定义：
$$\Delta y=f(x_0+\Delta x-x_0)=A\Delta x+o(x)$$
若存在A使得上式成立则称 $dy{|}_{x=x_0}=A\Delta x+o(x)，A=f^{\prime }(x_0)$，为微分

关于这部分最主要是分清可导，可微，连续的关系:
$$可导<-->可微-->连续$$
同时要注意和多元函数做对比区分，两者有很大差别

高阶导数

求高阶导数主要有三种方法：

1. 归纳法：
   归纳法就是指先求出一阶导数，二阶导数，一般最多求到三阶，通过观察式子得到规律，这种方法其实一般用的比较少，但是我们需要记住常见基本函数的n阶导数。这里列出几个供参考：（还没写）

2. 莱布尼兹公式
   $(uv{)}^{(n)}=u^{(n)}{v}^{(0)}+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{(1)}+.......C_n^0{u}^{(0)}{v}^{(n)}$
   这个公式可以类似$(a+b{)}^n$的展开式来记忆

3. 泰勒公式（数学一，数学三）
   泰勒公式实质上和级数是一样的，我们可以将函数按泰勒展开得到每项的系数$a_n$,然后利用$f^{(n)}(x_0)=n!\ast a_n$得到该函数的n阶导数

微分中值定理

3. 一元函数积分学

3.1 不定积分

3.1.1 第一类

凑微分

3.1.2 第二类

三角换元
整体换元

3.1.3 特殊函数积分

有理式积分
三角函数有理式积分
简单无理函数积分

3.2 定积分

4. 多元函数微分学

5. 多元函数积分学

5.1 二重积分

5.2 三重积分

5.3 应用

形心和质心

$X=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$

$Y=\frac{{\iint }_{D}y\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$

这个公式不难,但是不仅要对从左到右的式子熟悉，要对从右到左敏感，比如我们已知$X和{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma$的时候，那么${\iint }_{D}x\rho (x,y)d\sigma$就很快可以得到，这点在很多时候都可以简化运算。

转动惯量

$I_x=\frac{{\iint }_D{y}^2\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$

$I_y=\frac{{\iint }_D{x}^2\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$

$I_o=\frac{{\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$

这部分的内容很少在考研中考核，值得注意的是：对哪条轴（点）的转动惯量，就乘以到那条轴（点）的距离的平方。

6. 空间代数

7. 无穷级数

记住两点，级数收敛就是无穷级数的n项和在n趋于无穷时存在，即${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=s$
级数收敛的必要条件是${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$

7.1 常数项级数

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 当p>1时收敛，p<=1时发散

${\sum }_{n=1}^{\infty }a{q}^n$ 当q<1时收敛，q>=1时发散

7.2 正项级数

比较判别法 ->常使用等价无穷小代替
比值判别法 ->要注意当极限为1时不能判别
根植判别法 ->要注意当极限为1时不能判别

注意以上三种方法均是正项时才可以使用，这是前提，一定要注意。

7.3 幂级数（重点）

7.4 傅里叶级数

8. 曲线曲面积分

不管是什么积分，都有两个法宝，虽然之前我已经提过了，但是在这里和之后我还是会提到：

对称性和轮换对称性！！！

对称性和轮换对称性！！！

对称性和轮换对称性！！！

8.1 第一类曲线积分

曲线积分和普通积分基本一致，重点就是在于如何把对线段的微元转化为我们熟悉的对$x$，$t$，$\theta$的积分。这是三种情景其实就是一元函数积分学中积分的应用。
特别地，当被积函数为常数时，则积分表示线段L的长度；若被积函数$f(x,y)$可以发生代换成其他的表达式，直接带入即可，这点与二重积分三重积分不同，要注意区分。

对$x$：
$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

对$t$：
$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{t_1}^{t_2}f(x(t),y(t))\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$

对$\theta$：
$${\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}f(p(\theta )cos\theta ,p(\theta )sin\theta )\sqrt{[p^{\prime }(\theta ){]}^2+[p(\theta ){]}^2}d\theta$$

关于奇偶
如果积分曲线c关于y(x)轴对称：
若$f(x,y)$为关于x(y)的奇函数，即$f(-x,y)=-f(x,y)$，则积分为零

8.2 第二类曲线积分

格林公式

与路径无关问题

空间曲线积分

8.3 第一类曲面积分

核心：一代二换三投影。我们要将曲面投影到某一个平面，化作熟悉的二重积分，下面以投影到$xoy$面为例。

已知曲面$\sum :z=z(x,y)$，求${\iint }_{\sum }f(x,y,z)ds$
$ds=\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}d\sigma$
即：$${\iint }_{\sum }f(x,y,z)ds={\iint }_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}d\sigma$$

第一类曲面积分不难，但是有一点要注意，就是$z=z(x.y)$必须是一个单值函数，下面我将举一道简单的题目说明。

求${\iint }_{\sum }ds$,其中$\sum$是球体$x^2+y^2+z^2=R^2$的表面
解析：根据物理意义来讲，其实就是球的表面积$4\pi R^2$，但是我们如果用第一类曲面积分计算：
${\iint }_{\sum }ds={\iint }_{D_{xy}}\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}d\sigma ={\iint }_{D_{xy}}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dxdy$
这种做法当然是错误的

如果我直接说$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，你可能会意识到这只表示了上半部分球体，但是你在求的时候很可能忘记,这就是我说的单值函数的意思，在这里$z$根本不是$(x,y)$的函数，所以不能直接求。我们需要先用对称性，再求解即可。

8.4 第二类曲面积分

直接投影

转换投影

高斯公式（重点）

使用高斯公式要注意三个地方，也是最容易出题的地方：

1. 闭曲面，如果不是需要补面
2. 有连续一阶偏导，如果某些点被积函数不存在定义需要挖点
3. 外侧，如果不是外侧要注意符号

8.5 应用

通量

散度

旋度